Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho ứng với mỗi $x$ có không quá...

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
2{{x}^{2}}+y>0 \\
x+y>0 \\
\end{array} \right.$.
Ta có: ${{\log }_{4}}\left( 2{{x}^{2}}+y \right)\ge {{\log }_{3}}(x+y)$ $\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+y\ge {{4}^{{{\log }_{3}}(x+y)}}$ $\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+y\ge {{(x+y)}^{{{\log }_{3}}4}}$ (1).
Điều kiện: $x+y \geq 1$ (do $x, y \in \mathbb{Z}, x+y>0)$.
Đặt $t=x+y(t \geq 1)$. Ta được $2{{x}^{2}}+t-x\ge {{t}^{{{\log }_{3}}4}}\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-x\ge {{t}^{{{\log }_{3}}4}}-t$
Để (1) không có quá 242 nghiệm nguyên $y \Leftrightarrow(2)$ có không quá 242 nghiệm nguyên dương $t$.
Đặt $f(t)={{t}^{{{\log }_{3}}4}}-t$. Ta có: ${{f}^{\prime }}(t)={{\log }_{3}}4\cdot {{t}^{{{\log }_{3}}4-1}}-1>0\quad \forall t>1$ $\Rightarrow f(t)$ là hàm số đồng biến trên $[1 ;+\infty)$ $\Rightarrow(2)$ có không quá 242 nghiệm nguyên $\Leftrightarrow f\left( {{t}_{1}} \right)\le 242$ hay $2{{x}^{2}}-x\le {{242}^{{{\log }_{3}}4}}-242\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-x-{{242}^{{{\log }_{3}}4}}+242\le 0\Leftrightarrow -19,5\le x\le 19.96$
Lại có: $x \in \mathbb{Z} \Rightarrow$ Có $39$ số nguyên $x$ thỏa mãn bài toán.