Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho ứng với mỗi $x$ có không quá 242 số nguyên $y$ thỏa mãn $\log _4\left(x^2+y\right) \geq \log _3(x+y)$ ?
A. 56 .
B. 28 .
C. 29 .
D. 55 .
A. 56 .
B. 28 .
C. 29 .
D. 55 .
Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x^2+y>0 \\ x+y>0\end{array}\right.$.
Đặt $\log _3(x+y)=t$, ta có $\left\{\begin{array}{l}x^2+y \geq 4^t \\ x+y=3^t\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^2-x \geq 4^t-3^t \\ y=3^t-x\end{array}\right.\right.$
Nhận xét rằng hàm số $f(t)=4^t-3^t$ đồng biến trên khoảng $(0 ;+\infty)$ và $f(t)>0$ với mọi $t>0$ Gọi $n \in \mathbb{Z}$ thỏa $4^n-3^n=x^2-x$, khi đó $(*) \Leftrightarrow t \leq n$.
Từ đó, ta có $-x<y=3^t-x \leq 3^n-x$.
Mặt khác, vì có không quá 242 số nguyên $y$ thỏa mãn đề bài nên $3^n<243 \Leftrightarrow n \leq \log _3 243=5$
Từ đó, suy ra $x^2-x<4^5-243 \Leftrightarrow x^2-x-781<0 \Leftrightarrow \dfrac{1-25 \sqrt{5}}{2}<x<\dfrac{1+25 \sqrt{5}}{2}$
Mà $x \in \mathbb{Z}$ nên $x \in\{-27,-26, \ldots, 27,28\}$.
Vậy có 56 giá trị nguyên của $x$ thỏa yêu cầu đề bài.
Đặt $\log _3(x+y)=t$, ta có $\left\{\begin{array}{l}x^2+y \geq 4^t \\ x+y=3^t\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^2-x \geq 4^t-3^t \\ y=3^t-x\end{array}\right.\right.$
Nhận xét rằng hàm số $f(t)=4^t-3^t$ đồng biến trên khoảng $(0 ;+\infty)$ và $f(t)>0$ với mọi $t>0$ Gọi $n \in \mathbb{Z}$ thỏa $4^n-3^n=x^2-x$, khi đó $(*) \Leftrightarrow t \leq n$.
Từ đó, ta có $-x<y=3^t-x \leq 3^n-x$.
Mặt khác, vì có không quá 242 số nguyên $y$ thỏa mãn đề bài nên $3^n<243 \Leftrightarrow n \leq \log _3 243=5$
Từ đó, suy ra $x^2-x<4^5-243 \Leftrightarrow x^2-x-781<0 \Leftrightarrow \dfrac{1-25 \sqrt{5}}{2}<x<\dfrac{1+25 \sqrt{5}}{2}$
Mà $x \in \mathbb{Z}$ nên $x \in\{-27,-26, \ldots, 27,28\}$.
Vậy có 56 giá trị nguyên của $x$ thỏa yêu cầu đề bài.
Đáp án A.