Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( x;y \right)$ thỏa mãn...

Điều kiện: $\left\{ \begin{matrix}
\dfrac{y-2}{y+2}+1>0 \\
\dfrac{x+2}{x-1}+1>0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\dfrac{2y}{y+2}>0 \\
\dfrac{2x+1}{x-1}>0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x,y\in \mathbb{Z} \\
y\ge 1 \\
x\ge 2 \\
\end{matrix} \right.$.
Bất phương trình tương đương $\left( y+2 \right){{\log }_{3}}\left( \dfrac{y-2}{y+2}+1 \right)+\dfrac{\left( x-1 \right)\left( y-2 \right)}{x+2}{{\log }_{2}}\left( \dfrac{x+2}{x-1}+1 \right)\le 0$
$\left( y+2 \right){{\log }_{3}}\left( \dfrac{y-2}{y+2}+1 \right)+\left( y-2 \right)\dfrac{x-1}{x+2}{{\log }_{2}}\left( \dfrac{3}{x-1}+2 \right)\le 0$
Với $x\ge 2$, ta có $\dfrac{x-1}{x+2}{{\log }_{2}}\left( \dfrac{3}{x-1}+2 \right)>0$.
Nên với $y=1$ và $x\ge 2$ $\left( y+2 \right){{\log }_{3}}\left( \dfrac{y-2}{y+2}+1 \right)+\left( y-2 \right)\dfrac{x-1}{x+2}{{\log }_{2}}\left( \dfrac{3}{x-1}+2 \right)<0$ (Thỏa).
Trường hợp này có $2022$ cặp $\left( x;y \right)$ thỏa mãn.
Với $y=2$ và $x\ge 2$ $\left( y+2 \right){{\log }_{3}}\left( \dfrac{y-2}{y+2}+1 \right)+\left( y-2 \right)\dfrac{x-1}{x+2}{{\log }_{2}}\left( \dfrac{3}{x-1}+2 \right)=0$ (Thỏa).
Trường hợp này có $2022$ cặp $\left( x;y \right)$ thỏa mãn.
Với $y>2$, $\left\{ \begin{matrix}
y+2>0 \\
\dfrac{y-2}{y+2}+1>1 \\
y-2>0 \\
\end{matrix} \right. $ nên $ \left( y+2 \right){{\log }_{3}}\left( \dfrac{y-2}{y+2}+1 \right)+\left( y-2 \right)\dfrac{x-1}{x+2}{{\log }_{2}}\left( \dfrac{3}{x-1}+2 \right)>0$ không thỏa mãn bất phương trình.
Vậy có tất cả $4044$ cặp $\left( x;y \right)$ thỏa mãn.