Google
Câu hỏi: Xét các số phức $z$ thỏa mãn $\left| {{z}^{2}}-3-4i \right|=2\left| z \right|$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $\left| z \right|$. Giá trị của ${{M}^{2}}+{{m}^{2}}$ bằng
A. $28$.
B. $18+4\sqrt{6}$.
C. $14$.
D. $11+4\sqrt{6}$.
A. $28$.
B. $18+4\sqrt{6}$.
C. $14$.
D. $11+4\sqrt{6}$.
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:
$2\left| z \right|=\left| {{z}^{2}}-3-4i \right|\ge \left| \left| {{z}^{2}} \right|-\left| 3+4i \right| \right|=\left| {{\left| z \right|}^{2}}-5 \right|$ (vì $\left| {{z}^{2}} \right|={{\left| z \right|}^{2}}$ ). Dấu “=” xảy ra khi ${{z}^{2}}=k\left( -3-4i \right)$.
Suy ra $4{{\left| z \right|}^{2}}\ge {{\left( \left| z \right|-5 \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{4}}-14{{\left| z \right|}^{2}}+25\le 0\Leftrightarrow 7-2\sqrt{6}\le {{\left| z \right|}^{2}}\le 7+2\sqrt{6}$.
$\Rightarrow \sqrt{6}-1\le \left| z \right|\le \sqrt{6}+1$
Do đó, ta có $M=1+\sqrt{6}$ và $m=\sqrt{6}-1$.
Vậy ${{M}^{2}}+{{m}^{2}}=14$.
$2\left| z \right|=\left| {{z}^{2}}-3-4i \right|\ge \left| \left| {{z}^{2}} \right|-\left| 3+4i \right| \right|=\left| {{\left| z \right|}^{2}}-5 \right|$ (vì $\left| {{z}^{2}} \right|={{\left| z \right|}^{2}}$ ). Dấu “=” xảy ra khi ${{z}^{2}}=k\left( -3-4i \right)$.
Suy ra $4{{\left| z \right|}^{2}}\ge {{\left( \left| z \right|-5 \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{4}}-14{{\left| z \right|}^{2}}+25\le 0\Leftrightarrow 7-2\sqrt{6}\le {{\left| z \right|}^{2}}\le 7+2\sqrt{6}$.
$\Rightarrow \sqrt{6}-1\le \left| z \right|\le \sqrt{6}+1$
Do đó, ta có $M=1+\sqrt{6}$ và $m=\sqrt{6}-1$.
Vậy ${{M}^{2}}+{{m}^{2}}=14$.
Đáp án C.
