Google
Câu hỏi: Biết số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}$ và biểu thức $T={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất. Tính $\left| z \right|$.
A. $\left| z \right|=\sqrt{33}$.
B. $\left| z \right|=50$.
C. $\left| z \right|=5\sqrt{2}$.
D. $\left| z \right|=\sqrt{10}$.
A. $\left| z \right|=\sqrt{33}$.
B. $\left| z \right|=50$.
C. $\left| z \right|=5\sqrt{2}$.
D. $\left| z \right|=\sqrt{10}$.
Gọi $z=x+yi,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ có điểm biểu diễn là $M$
$\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=5 \left( C \right)$
$T={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}-{{\left( y-1 \right)}^{2}}=4x+2y+3$
$\Leftrightarrow 4x+2y+3-T=0 \left( \Delta \right)$
Khi đó, $M$ là giao điểm của $\left( C \right)$ và $\Delta $
$\Rightarrow d\left( I,\Delta \right)\le R\Leftrightarrow \dfrac{\left| 4.3+2.4+3-T \right|}{\sqrt{16+4}}\le \sqrt{5}\Leftrightarrow \left| 23-T \right|\le 10\Leftrightarrow 13\le T\le 33$
$T=33$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4x+2y-30=0 \\
& {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=5 \\
& y=5 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: $\left| z \right|=\sqrt{{{5}^{2}}+{{5}^{2}}}=5\sqrt{2}$
$\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=5 \left( C \right)$
$T={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}-{{\left( y-1 \right)}^{2}}=4x+2y+3$
$\Leftrightarrow 4x+2y+3-T=0 \left( \Delta \right)$
Khi đó, $M$ là giao điểm của $\left( C \right)$ và $\Delta $
$\Rightarrow d\left( I,\Delta \right)\le R\Leftrightarrow \dfrac{\left| 4.3+2.4+3-T \right|}{\sqrt{16+4}}\le \sqrt{5}\Leftrightarrow \left| 23-T \right|\le 10\Leftrightarrow 13\le T\le 33$
$T=33$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4x+2y-30=0 \\
& {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=5 \\
& y=5 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: $\left| z \right|=\sqrt{{{5}^{2}}+{{5}^{2}}}=5\sqrt{2}$
Đáp án C.
