Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ và $w$ thỏa mãn $z+w=3+4i$ và $\left| z-w \right|=9$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=\left| z \right|+\left| w \right|$.
A. $\max T=\sqrt{176}$.
B. $\max T=14$.
C. $\max T=4$.
D. $\max T=\sqrt{106}$.
A. $\max T=\sqrt{176}$.
B. $\max T=14$.
C. $\max T=4$.
D. $\max T=\sqrt{106}$.
Đặt $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$. Do $z+w=3+4i$ nên $w=\left( 3-x \right)+\left( 4-y \right)i$.
Mặt khác $\left| z-w \right|=9$ nên $\left| z-w \right|=\sqrt{{{\left( 2x-3 \right)}^{2}}+{{\left( 2y-4 \right)}^{2}}}=\sqrt{4{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}-12x-16y+25}=9$
$\Leftrightarrow $ $2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-6x-8y=28$ $\left( 1 \right)$.
Suy ra $T=\left| z \right|+\left| w \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{{{\left( 3-x \right)}^{2}}+{{\left( 4-y \right)}^{2}}}$.
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có ${{T}^{2}}\le 2\left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-6x-8y+25 \right)$ $\left( 2 \right)$.
Dấu $''=''$ xảy ra khi $\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3-x \right)}^{2}}+{{\left( 4-y \right)}^{2}}}$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có ${{T}^{2}}\le 2.\left( 28+25 \right)\Leftrightarrow 0\le T\le \sqrt{106}$.
Vậy $MaxT=\sqrt{106}$.
Mặt khác $\left| z-w \right|=9$ nên $\left| z-w \right|=\sqrt{{{\left( 2x-3 \right)}^{2}}+{{\left( 2y-4 \right)}^{2}}}=\sqrt{4{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}-12x-16y+25}=9$
$\Leftrightarrow $ $2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-6x-8y=28$ $\left( 1 \right)$.
Suy ra $T=\left| z \right|+\left| w \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{{{\left( 3-x \right)}^{2}}+{{\left( 4-y \right)}^{2}}}$.
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có ${{T}^{2}}\le 2\left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-6x-8y+25 \right)$ $\left( 2 \right)$.
Dấu $''=''$ xảy ra khi $\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3-x \right)}^{2}}+{{\left( 4-y \right)}^{2}}}$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có ${{T}^{2}}\le 2.\left( 28+25 \right)\Leftrightarrow 0\le T\le \sqrt{106}$.
Vậy $MaxT=\sqrt{106}$.
Đáp án D.