Xét các số phức $z,w$ thỏa mãn $|z-1|=|w-1|=2$ và $|z-w|=|z+w|$...

Cách 1:
Đặt $a=z-1,b=w-1$, ta có: $\left| a \right|=\left| b \right|=2$ và $\left| a+b+2 \right|=\left| a-b \right|$.
$T=\left| a+b+4-3i \right|$.
Mặt khác: ${{\left| a+b \right|}^{2}}+{{\left| a-b \right|}^{2}}=2\left( \left| a \right|+\left| b \right| \right)$.
Suy ra: ${{\left| a+b \right|}^{2}}+{{\left| a+b+2 \right|}^{2}}=2\left( \left| a \right|+\left| b \right| \right)=16$.
Giả sử: $a+b=x+yi \left( x,y\in \mathbb{R} \right)$.
Ta có: ${{\left| a+b \right|}^{2}}+{{\left| a+b+2 \right|}^{2}}=16$ $\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-6=0$.
Do đó: tập hợp các điểm $M$ biểu diễn số phức $a+b$ là một đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( -1;0 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{7}$.
Điểm $A\left( -4;3 \right)$ nằm ngoài đường tròn $\left( C \right)$.
$T=\left| a+b+4-3i \right|$ $=MA$ $\ge IA-R=3\sqrt{2}-\sqrt{7}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $T=\left| z+w+2-3i \right|$ bằng $3\sqrt{2}-\sqrt{7}$.
Cách 2:
Gọi $M(z), N(w), E(z+w), I(1 ; 0), A(-2 ; 3)$. Khi đó từ giả thiết suy ra $M$, $N$ thuộc đường tròn $(C)$ tâm $I(1 ; 0)$, bán kính $R=2$ và $O E=M N$, kéo theo ta có được tứ giác ${O M E N}$ là hình chữ nhật (hai đường chéo bằng nhau).
Suy ra $O M \perp O N$ tức $|z|^2+|w|^2=|z-w|^2$.
Tiếp theo ta cần áp dụng tính chất sau: $2\left(\left|z_1\right|^2+\left|z_2\right|^2\right)=\left|z_1-z_2\right|^2+\left|z_1+z_2\right|^2$. Khi đó ta có:
$16=2\left(|z-1|^2+|w-1|^2\right)=|z+w-2|^2+|z-w|^2=|z+w-2|^2+|z+w|^2(1)$
Đặt $z+w=x+y i(x, y \in \mathbb{R})$ thì (1) trở thành: $(x-2)^2+y^2+\left(x^2+y^2\right)=64 \Leftrightarrow(x-1)^2+y^2=7$ tức $E(z+w)$ luôn di động trên đường tròn $\left(C^{\prime}\right)$ tâm $I(1 ; 0)$, bán kính $r=\sqrt{7}$.
Từ hình vẽ ta suy ra: $T=|z+w+2-3 i|=E A \geq I A-r=3 \sqrt{2}-\sqrt{7}$ khi $P \equiv P_0=I A \cap\left(C^{\prime}\right)$.