Google
Câu hỏi: Xét các số phức $z$ thỏa mãn $4\left( z-\overline{z} \right)-15i=i{{\left( z+\overline{z}-1 \right)}^{2}}$ và $\left| 2z-1+i \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.Tính $\left| 8z-5i \right|$.
A. $8\sqrt{3}$.
B. $2\sqrt{29}$.
C. $12$.
D. $4\sqrt{13}$.
A. $8\sqrt{3}$.
B. $2\sqrt{29}$.
C. $12$.
D. $4\sqrt{13}$.
Gọi $z=x+yi, \left( x,y\in \mathbb{R} \right)$.
$4\left( z-\overline{z} \right)-15i=i{{\left( z+\overline{z}-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 8yi-15i=i{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 8y-15={{\left( 2x-1 \right)}^{2}}$.
Suy ra $y\ge \dfrac{15}{8}$
$T=\left| 2z-1+i \right|=\sqrt{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2y+1 \right)}^{2}}}=\sqrt{\left( 8y-15 \right)+{{\left( 2y+1 \right)}^{2}}}=\sqrt{4{{y}^{2}}+12y-14}$.
Xét hàm số $f(y)=4{{y}^{2}}+12y-14$.
Lập bảng biến thiên
T min khi $y=\dfrac{15}{8}\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}$.
$\left| 8z-5i \right|=\left| 4+10i \right|=2\sqrt{29}$
$4\left( z-\overline{z} \right)-15i=i{{\left( z+\overline{z}-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 8yi-15i=i{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 8y-15={{\left( 2x-1 \right)}^{2}}$.
Suy ra $y\ge \dfrac{15}{8}$
$T=\left| 2z-1+i \right|=\sqrt{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2y+1 \right)}^{2}}}=\sqrt{\left( 8y-15 \right)+{{\left( 2y+1 \right)}^{2}}}=\sqrt{4{{y}^{2}}+12y-14}$.
Xét hàm số $f(y)=4{{y}^{2}}+12y-14$.
Lập bảng biến thiên
T min khi $y=\dfrac{15}{8}\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}$.
$\left| 8z-5i \right|=\left| 4+10i \right|=2\sqrt{29}$
Đáp án B.