Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 1; 2; 3 \right), B\left( -2; -7; 6 \right)$ và đường thẳng $\left( \Delta \right):\dfrac{x-2}{-2}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-1}{3}$. Biết điểm $M$ thay đổi trên $\left( \Delta \right)$ sao cho $\left| MA-MB \right|$ đạt giá trị lớn nhất. Giá trị lớn nhất của $\left| MA-MB \right|$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 6; 7 \right)$.
B. $\left( 5; 6 \right)$.
C. $\left( 4; 5 \right)$.
D. $\left( 3; 4 \right)$.
Gọi $H$, $I$ lần lượt là hình chiếu của $A, B$ lên đường thẳng $\Delta $. Vì $H\in \Delta $ nên $H\left( 2-2t; -2+t; 1+3t \right)$, ta có $\overrightarrow{AH}\left( 1-2t; -4+t; -2+3t \right)$ và ${{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}=\left( -2; 1; 3 \right)$. Vì $AH$ vuông góc với đường thẳng $\Delta $ nên $\overrightarrow{AH}\bot {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}\Leftrightarrow \overrightarrow{AH}.{{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}=0\Leftrightarrow -2\left( 1-2t \right)+1\left( -4+t \right)+3\left( -2+3t \right)=0$
$\Leftrightarrow t=\dfrac{6}{7}$ $\Rightarrow H\left( \dfrac{2}{7}; -\dfrac{8}{7}; \dfrac{25}{7} \right)$
Tương tự, giả sử $I\left( 2-2a; -2+a; 1+3a \right)$, ta có $\overrightarrow{BI}\left( 4-2a; 5+a; -5+3a \right)$ và ${{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}=\left( -2; 1; 3 \right)$. Vì $BI$ vuông góc với đường thẳng $\Delta $ nên $\overrightarrow{BI}\bot {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}\Leftrightarrow \overrightarrow{BI}.{{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}=0\Leftrightarrow -2\left( 4-2a \right)+1\left( 5+a \right)+3\left( -5+3a \right)=0$
$\Leftrightarrow a=\dfrac{9}{7}$ $\Rightarrow I\left( -\dfrac{4}{7}; -\dfrac{5}{7}; \dfrac{34}{7} \right)$
Dựng đường thẳng d đi qua $I$ và song song với $HA$ và chọn điểm $B'$ cùng phía với $A$ so với $\Delta $ sao cho $B'I=BI$. Ta có $MB=MB'$ $\Rightarrow \left| MA-MB \right|=\left| MA-MB' \right|\le AB'$. Dấu $''=''$ xảy ra khi $A, B', M$ thẳng hàng và $M$ nằm ngoài đoạn $AB$ (hình vẽ). Vậy giá trị lớn nhất của $\left| MA-MB \right|$ là $AB'$.
Ta có $AH=\dfrac{5\sqrt{21}}{7}$, $B'I=BI=\dfrac{10\sqrt{21}}{7}$ $\Rightarrow B'K=B'I-AH=\dfrac{5\sqrt{21}}{7}$ (do $B'I>AH$ ) và $HI=\dfrac{3\sqrt{14}}{7}$. Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông $AKB'$ ta có,
$AB'=\sqrt{A{{K}^{2}}+B'{{K}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{651}}{7}\approx 3,645$
A. $\left( 6; 7 \right)$.
B. $\left( 5; 6 \right)$.
C. $\left( 4; 5 \right)$.
D. $\left( 3; 4 \right)$.
$\Leftrightarrow t=\dfrac{6}{7}$ $\Rightarrow H\left( \dfrac{2}{7}; -\dfrac{8}{7}; \dfrac{25}{7} \right)$
Tương tự, giả sử $I\left( 2-2a; -2+a; 1+3a \right)$, ta có $\overrightarrow{BI}\left( 4-2a; 5+a; -5+3a \right)$ và ${{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}=\left( -2; 1; 3 \right)$. Vì $BI$ vuông góc với đường thẳng $\Delta $ nên $\overrightarrow{BI}\bot {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}\Leftrightarrow \overrightarrow{BI}.{{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}=0\Leftrightarrow -2\left( 4-2a \right)+1\left( 5+a \right)+3\left( -5+3a \right)=0$
$\Leftrightarrow a=\dfrac{9}{7}$ $\Rightarrow I\left( -\dfrac{4}{7}; -\dfrac{5}{7}; \dfrac{34}{7} \right)$
Dựng đường thẳng d đi qua $I$ và song song với $HA$ và chọn điểm $B'$ cùng phía với $A$ so với $\Delta $ sao cho $B'I=BI$. Ta có $MB=MB'$ $\Rightarrow \left| MA-MB \right|=\left| MA-MB' \right|\le AB'$. Dấu $''=''$ xảy ra khi $A, B', M$ thẳng hàng và $M$ nằm ngoài đoạn $AB$ (hình vẽ). Vậy giá trị lớn nhất của $\left| MA-MB \right|$ là $AB'$.
Ta có $AH=\dfrac{5\sqrt{21}}{7}$, $B'I=BI=\dfrac{10\sqrt{21}}{7}$ $\Rightarrow B'K=B'I-AH=\dfrac{5\sqrt{21}}{7}$ (do $B'I>AH$ ) và $HI=\dfrac{3\sqrt{14}}{7}$. Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông $AKB'$ ta có,
$AB'=\sqrt{A{{K}^{2}}+B'{{K}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{651}}{7}\approx 3,645$
Đáp án D.
