Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 1;2;-1 \right)$, $B\left( -2;3;4 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x-2y-z+6=0$. Xét điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ thuộc $\left( P \right)$ sao cho biểu thức $\left| 2\overrightarrow{MA}\overrightarrow{MB} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $S={{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}}$
A. $S=9$.
B. $S=7$.
C. $S=10$.
D. $S=8$.
A. $S=9$.
B. $S=7$.
C. $S=10$.
D. $S=8$.
Ta tìm điểm $I$ sao cho $2\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}$. Suy ra $A$ là trung điểm của $BI$ $\Rightarrow I\left( 4;1;-6 \right)$.
Khi đó $\left| 2\overrightarrow{MA}\overrightarrow{MB} \right|=\left| 2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IA}\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IB} \right|=\left| \overrightarrow{MI} \right|=MI$.
Để biểu thức $\left| 2\overrightarrow{MA}\overrightarrow{MB} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $M$ là hình chiếu của $I$ trên $\left( P \right)$.
Ta có $IM:\left\{ \begin{matrix}
x=4+t \\
y=1-2t \\
z=-6-t \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow M\left( 4+t;1-2t;-6-t \right)$.
Do $M\in \left( P \right)$ nên $\left( 4+t \right)-2\left( 1-2t \right)-\left( -6-t \right)+6=0\Leftrightarrow t=-4\Rightarrow M\left( 0;9;-2 \right)\Rightarrow S=7$.
Khi đó $\left| 2\overrightarrow{MA}\overrightarrow{MB} \right|=\left| 2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IA}\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IB} \right|=\left| \overrightarrow{MI} \right|=MI$.
Để biểu thức $\left| 2\overrightarrow{MA}\overrightarrow{MB} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $M$ là hình chiếu của $I$ trên $\left( P \right)$.
Ta có $IM:\left\{ \begin{matrix}
x=4+t \\
y=1-2t \\
z=-6-t \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow M\left( 4+t;1-2t;-6-t \right)$.
Do $M\in \left( P \right)$ nên $\left( 4+t \right)-2\left( 1-2t \right)-\left( -6-t \right)+6=0\Leftrightarrow t=-4\Rightarrow M\left( 0;9;-2 \right)\Rightarrow S=7$.
Đáp án B.