Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ Cho đường thẳng $d: \dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{x-1}{2}$ và điểm $A\left( 2 ; 0 ; 3 \right)$. Toạ độ điểm ${A}'$ đối xứng với $A$ qua đường thẳng $d$ tương ứng là
A. $\left( \dfrac{8}{3} ; -\dfrac{2}{3} ; \dfrac{7}{3} \right)$.
B. $\left( \dfrac{2}{3} ; -\dfrac{4}{3} ; \dfrac{5}{3} \right)$.
C. $\left( \dfrac{10}{2} ; -\dfrac{4}{3} ; \dfrac{5}{3} \right)$.
D. $\left( 2 ; -3 ; 1 \right)$.
A. $\left( \dfrac{8}{3} ; -\dfrac{2}{3} ; \dfrac{7}{3} \right)$.
B. $\left( \dfrac{2}{3} ; -\dfrac{4}{3} ; \dfrac{5}{3} \right)$.
C. $\left( \dfrac{10}{2} ; -\dfrac{4}{3} ; \dfrac{5}{3} \right)$.
D. $\left( 2 ; -3 ; 1 \right)$.
Đưa đường thẳng $d$ về phương trình tham số $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=-t \\
& z=1+2t \\
\end{aligned} \right.$
Gọi hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên đường thẳng $d$ là $H$ suy ra $H\left( 2+t\ ;\ -t\ ;\ 1+2t \right)$. Ta có $\overrightarrow{AH}=\left( t\ ;\ -t\ ;\ 2t-2 \right)$ và VTCP của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1\ ;\ -1\ ;\ 2 \right)$.
Suy ra $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow t+t+4t-4=0\Leftrightarrow t=\dfrac{2}{3}\Rightarrow H\left( \dfrac{8}{3}\ ;\ -\dfrac{2}{3}\ ;\ \dfrac{7}{3} \right)$.
Có điểm $H$ là trung điểm của $A{A}'$ suy ra tọa độ điểm ${A}'$ là: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{{{A}'}}}=2{{x}_{H}}-{{x}_{A}}=\dfrac{10}{3} \\
& {{y}_{{{A}'}}}=2{{y}_{H}}-{{y}_{A}}=-\dfrac{4}{3} \\
& {{z}_{{{A}'}}}=2{{z}_{H}}-{{z}_{A}}=\dfrac{5}{3} \\
\end{aligned} \right.$.
& x=2+t \\
& y=-t \\
& z=1+2t \\
\end{aligned} \right.$
Gọi hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên đường thẳng $d$ là $H$ suy ra $H\left( 2+t\ ;\ -t\ ;\ 1+2t \right)$. Ta có $\overrightarrow{AH}=\left( t\ ;\ -t\ ;\ 2t-2 \right)$ và VTCP của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1\ ;\ -1\ ;\ 2 \right)$.
Suy ra $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow t+t+4t-4=0\Leftrightarrow t=\dfrac{2}{3}\Rightarrow H\left( \dfrac{8}{3}\ ;\ -\dfrac{2}{3}\ ;\ \dfrac{7}{3} \right)$.
Có điểm $H$ là trung điểm của $A{A}'$ suy ra tọa độ điểm ${A}'$ là: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{{{A}'}}}=2{{x}_{H}}-{{x}_{A}}=\dfrac{10}{3} \\
& {{y}_{{{A}'}}}=2{{y}_{H}}-{{y}_{A}}=-\dfrac{4}{3} \\
& {{z}_{{{A}'}}}=2{{z}_{H}}-{{z}_{A}}=\dfrac{5}{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án C.
