Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta $ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right):z-1=0$ và $\left( Q \right):x+y+z-3=0$. Gọi $d$ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$, cắt đường thẳng $d':\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta $. Phương trình của đường thẳng $d$ là
A. $\left\{ \begin{aligned}
& x=3+t \\
& y=t \\
& z=1+t \\
\end{aligned} \right. $.
B. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=3-t \\
& y=t \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right. $.
C. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=3+t \\
& y=t \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right. $.
D. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=3+t \\
& y=-t \\
& z=1+t \\
\end{aligned} \right.$.
Đặt ${{\vec{n}}_{P}}=\left( 0;0;1 \right)$ và ${{\vec{n}}_{Q}}=\left( 1;1;1 \right)$ lần lượt là véctơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.
Do $\Delta =\left( P \right)\cap \left( Q \right)$ nên $\Delta $ có một véctơ chỉ phương ${{\vec{u}}_{\Delta }}=\left[ {{{\vec{n}}}_{P}},{{{\vec{n}}}_{Q}} \right]=\left( -1;1;0 \right)$.
Đường thẳng $d$ nằm trong $\left( P \right)$ và $d\bot \Delta $ nên $d$ có một vectơ chỉ phương là ${{\vec{u}}_{d}}=\left[ {{{\vec{n}}}_{P}},{{{\vec{u}}}_{\Delta }} \right]=\left( -1;-1;0 \right)$.
Gọi ${d}':\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}$ và $I={d}'\cap d\Rightarrow I={d}'\cap \left( P \right)$
Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& z-1=0 \\
& \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{-1} \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& z=1 \\
& y=0 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow I\left( 3;0;1 \right)$.
Do đó phương trình đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=3+t \\
& y=t \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right.$.
A. $\left\{ \begin{aligned}
& x=3+t \\
& y=t \\
& z=1+t \\
\end{aligned} \right. $.
B. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=3-t \\
& y=t \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right. $.
C. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=3+t \\
& y=t \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right. $.
D. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=3+t \\
& y=-t \\
& z=1+t \\
\end{aligned} \right.$.
Do $\Delta =\left( P \right)\cap \left( Q \right)$ nên $\Delta $ có một véctơ chỉ phương ${{\vec{u}}_{\Delta }}=\left[ {{{\vec{n}}}_{P}},{{{\vec{n}}}_{Q}} \right]=\left( -1;1;0 \right)$.
Đường thẳng $d$ nằm trong $\left( P \right)$ và $d\bot \Delta $ nên $d$ có một vectơ chỉ phương là ${{\vec{u}}_{d}}=\left[ {{{\vec{n}}}_{P}},{{{\vec{u}}}_{\Delta }} \right]=\left( -1;-1;0 \right)$.
Gọi ${d}':\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}$ và $I={d}'\cap d\Rightarrow I={d}'\cap \left( P \right)$
Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& z-1=0 \\
& \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{-1} \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& z=1 \\
& y=0 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow I\left( 3;0;1 \right)$.
Do đó phương trình đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=3+t \\
& y=t \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án C.