Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}}: \dfrac{x}{1}=\dfrac{y-4}{2}=\dfrac{z-1}{3}$ và ${{\Delta }_{2}}: \dfrac{x+2}{-1}=\dfrac{y}{-2}=\dfrac{z-1}{3}$ cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$. Đường phân giác $d$ của góc nhọn tạo bởi ${{\Delta }_{1}}$, ${{\Delta }_{2}}$ và nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ có một véctơ chỉ phương là
A. $\overrightarrow{u}=\left( 1 ; 2 ; 3 \right)$.
B. $\overrightarrow{u}=\left( 0 ; 0 ; -1 \right)$.
C. $\overrightarrow{u}=\left( 1 ; 0 ; 0 \right)$.
D. $\overrightarrow{u}=\left( 1 ; -2 ; -3 \right)$
A. $\overrightarrow{u}=\left( 1 ; 2 ; 3 \right)$.
B. $\overrightarrow{u}=\left( 0 ; 0 ; -1 \right)$.
C. $\overrightarrow{u}=\left( 1 ; 0 ; 0 \right)$.
D. $\overrightarrow{u}=\left( 1 ; -2 ; -3 \right)$
Ta có :
${{\Delta }_{1}}: \dfrac{x}{1}=\dfrac{y-4}{2}=\dfrac{z-1}{3}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=a \\
& y=4+2a \\
& z=1+3a \\
\end{aligned} \right. \left( a\in \mathbb{R} \right).$${{\Delta }_{2}}: \dfrac{x+2}{-1}=\dfrac{y}{-2}=\dfrac{z-1}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-2-b \\
& y=-2b \\
& z=1+3b \\
\end{aligned} \right. \left( b\in \mathbb{R} \right) .$
Gọi $M$ là giao điểm của hai đường thẳng vậy tọa độ $M$ thỏa mãn hệ phương trình:
$\left\{ \begin{aligned}
& a=-2-b \\
& 4+2\text{a}=-2b \\
& 1+3\text{a}=1+3b \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-1 \\
& b=-1 \\
\end{aligned} \right. \Rightarrow M\left( -1 ;2 ; -2 \right).$
Trên ${{\Delta }_{1}}$ lấy điểm $A\left( 1;6 ; 4 \right)\Rightarrow \overrightarrow{MA}=\left( 2 ; 4 ; 6 \right)$, trên ${{\Delta }_{2}}$ lấy điểm $B\left( -2-b ;-2b ; 1+3b \right)$ thỏa mãn: $MA=MB\Leftrightarrow M{{A}^{2}}=M{{B}^{2}}\Leftrightarrow 56={{\left( -1-b \right)}^{2}}+{{\left( -2b-2 \right)}^{2}}+{{\left( 3+3b \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 14{{b}^{2}}+28b-42=0\Leftrightarrow {{b}^{2}}+2b-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=1 \\
& b=-3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& B\left( -3 ;-2 ; 4 \right) \\
& B\left( 1 ;6 ; -8 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& \overrightarrow{MB}\left( -2 ;-4 ; 6 \right) \\
& \overrightarrow{MB}\left( 2 ;4 ; -6 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Xét $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}$, vì $d$ là đường phân giác góc nhọn của 2 đường thẳng nên $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} >0$ vậy tọa độ $B\left( -3 ;-2 ; 4 \right)$ thỏa mãn.
Vậy véctơ chỉ phương của đường thẳng $d$ thỏa mãn: $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\left( 0;0;12 \right)$.
Vì $\overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ nên $k\overrightarrow{u} \left( k\ne 0 \right)$ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$. Khi đó chọn $k=\dfrac{-1}{12}$ véctơ chỉ phương của đường thẳng $d$ có tọa độ là $\overrightarrow{u}=\left( 0 ; 0 ; -1 \right)$.
${{\Delta }_{1}}: \dfrac{x}{1}=\dfrac{y-4}{2}=\dfrac{z-1}{3}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=a \\
& y=4+2a \\
& z=1+3a \\
\end{aligned} \right. \left( a\in \mathbb{R} \right).$${{\Delta }_{2}}: \dfrac{x+2}{-1}=\dfrac{y}{-2}=\dfrac{z-1}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-2-b \\
& y=-2b \\
& z=1+3b \\
\end{aligned} \right. \left( b\in \mathbb{R} \right) .$
Gọi $M$ là giao điểm của hai đường thẳng vậy tọa độ $M$ thỏa mãn hệ phương trình:
$\left\{ \begin{aligned}
& a=-2-b \\
& 4+2\text{a}=-2b \\
& 1+3\text{a}=1+3b \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-1 \\
& b=-1 \\
\end{aligned} \right. \Rightarrow M\left( -1 ;2 ; -2 \right).$
Trên ${{\Delta }_{1}}$ lấy điểm $A\left( 1;6 ; 4 \right)\Rightarrow \overrightarrow{MA}=\left( 2 ; 4 ; 6 \right)$, trên ${{\Delta }_{2}}$ lấy điểm $B\left( -2-b ;-2b ; 1+3b \right)$ thỏa mãn: $MA=MB\Leftrightarrow M{{A}^{2}}=M{{B}^{2}}\Leftrightarrow 56={{\left( -1-b \right)}^{2}}+{{\left( -2b-2 \right)}^{2}}+{{\left( 3+3b \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 14{{b}^{2}}+28b-42=0\Leftrightarrow {{b}^{2}}+2b-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=1 \\
& b=-3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& B\left( -3 ;-2 ; 4 \right) \\
& B\left( 1 ;6 ; -8 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& \overrightarrow{MB}\left( -2 ;-4 ; 6 \right) \\
& \overrightarrow{MB}\left( 2 ;4 ; -6 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Xét $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}$, vì $d$ là đường phân giác góc nhọn của 2 đường thẳng nên $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} >0$ vậy tọa độ $B\left( -3 ;-2 ; 4 \right)$ thỏa mãn.
Vậy véctơ chỉ phương của đường thẳng $d$ thỏa mãn: $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\left( 0;0;12 \right)$.
Vì $\overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ nên $k\overrightarrow{u} \left( k\ne 0 \right)$ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$. Khi đó chọn $k=\dfrac{-1}{12}$ véctơ chỉ phương của đường thẳng $d$ có tọa độ là $\overrightarrow{u}=\left( 0 ; 0 ; -1 \right)$.
Đáp án B.
