Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ toạ độ ${Oxyz}$, cho mặt phẳng ${\left(\alpha \right):x+y-2z-2=0}$ và đường thẳng $\Delta :\dfrac{x}{2}=\dfrac{y+2}{-2}=\dfrac{z-2}{1}$. Đường thẳng ${\Delta }'$ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng $\Delta $ trên mặt phẳng ${\left(\alpha \right)}$ có phương trình là
A. $\dfrac{x+8}{3}=\dfrac{y-6}{5}=\dfrac{z+2}{4}$.
B. $\dfrac{x+8}{3}=\dfrac{y-6}{-5}=\dfrac{z+2}{4}$.
C. $\dfrac{x+1}{7}=\dfrac{y-1}{-5}=\dfrac{z+1}{1}$.
D. $\dfrac{x+1}{7}=\dfrac{y-1}{5}=\dfrac{z+1}{1}$.
A. $\dfrac{x+8}{3}=\dfrac{y-6}{5}=\dfrac{z+2}{4}$.
B. $\dfrac{x+8}{3}=\dfrac{y-6}{-5}=\dfrac{z+2}{4}$.
C. $\dfrac{x+1}{7}=\dfrac{y-1}{-5}=\dfrac{z+1}{1}$.
D. $\dfrac{x+1}{7}=\dfrac{y-1}{5}=\dfrac{z+1}{1}$.
Gọi $\left(P \right)$ là mặt phẳng chứa $\Delta$ và ${\Delta }'$ suy ra $\left(P \right) \bot\ \left(\alpha \right)$.
Khi đó vectơ pháp tuyến của $\left(P \right)$ là $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}},\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right]=\left( -3;-5;-4 \right)$ và ${\Delta }'=\left( P \right)\cap \left( \alpha \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{{{\Delta }'}}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \right]=\left( 14;-10;2 \right)//\overrightarrow{u}=\left( 7;-5;1 \right)$.
Ta có phương trình mặt phẳng $\left( P \right):3x+5y+4z+2=0$.
Lấy $M\in {\Delta }'=\left( P \right)\cap \left( \alpha \right)\Rightarrow $ toạ độ điểm $M$ thoả mãn hệ $\left\{ \begin{aligned}
& x+y-2z-2=0 \\
& 3x+5y+4z+2=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Chọn $y=1$ suy ra $x=z=-1$ $\Rightarrow M\left( -1;1;-1 \right)$.
Vậy phương trình đường thẳng ${\Delta }'$ là $\dfrac{x+1}{7}=\dfrac{y-1}{-5}=\dfrac{z+1}{1}$.
Khi đó vectơ pháp tuyến của $\left(P \right)$ là $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}},\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right]=\left( -3;-5;-4 \right)$ và ${\Delta }'=\left( P \right)\cap \left( \alpha \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{{{\Delta }'}}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}} \right]=\left( 14;-10;2 \right)//\overrightarrow{u}=\left( 7;-5;1 \right)$.
Ta có phương trình mặt phẳng $\left( P \right):3x+5y+4z+2=0$.
Lấy $M\in {\Delta }'=\left( P \right)\cap \left( \alpha \right)\Rightarrow $ toạ độ điểm $M$ thoả mãn hệ $\left\{ \begin{aligned}
& x+y-2z-2=0 \\
& 3x+5y+4z+2=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Chọn $y=1$ suy ra $x=z=-1$ $\Rightarrow M\left( -1;1;-1 \right)$.
Vậy phương trình đường thẳng ${\Delta }'$ là $\dfrac{x+1}{7}=\dfrac{y-1}{-5}=\dfrac{z+1}{1}$.
Đáp án C.
