Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho điểm $A(-4 ; 2 ;-1)$ và đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=-1+t \\ y=3-t \\ z=t\end{array}\right.$. Gọi $A^{\prime}(a ; b ; c)$ là điểm đối xứng với $A$ qua $d$. Tính $P=a+b+c$.
A. $P=-2$.
B. $P=-1$.
C. $P=1$.
D. $P=5$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên đường thẳng $d$.
Ta có $H \in d \Rightarrow H(-1+t ; 3-t ; t)$. Suy ra $\overrightarrow{A H}=(t+3 ;-t+1 ; t+1)$.
Ta có $\vec{u}=(1 ;-1 ; 1)$ là véctơ chỉ phương của đường thẳng $d$.
Vì $\overrightarrow{A H} \perp \vec{u}$ nên $\overrightarrow{A H} \cdot \vec{u}=0 \Leftrightarrow t+3+t-1+t+1=0 \Leftrightarrow 3 t+3=0 \Leftrightarrow t=-1$.
Suy ra $H(-2 ; 4 ;-1)$.
Vì $A^{\prime}$ đối xứng với $A$ qua $d$ nên $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $A A^{\prime}$. Do đó $A^{\prime}(0 ; 6 ;-1)$.
Suy ra $a=0 ; b=6 ; c=-1$. Vậy $P=a+b+c=0+6-1=5$.
A. $P=-2$.
B. $P=-1$.
C. $P=1$.
D. $P=5$.
Ta có $H \in d \Rightarrow H(-1+t ; 3-t ; t)$. Suy ra $\overrightarrow{A H}=(t+3 ;-t+1 ; t+1)$.
Ta có $\vec{u}=(1 ;-1 ; 1)$ là véctơ chỉ phương của đường thẳng $d$.
Vì $\overrightarrow{A H} \perp \vec{u}$ nên $\overrightarrow{A H} \cdot \vec{u}=0 \Leftrightarrow t+3+t-1+t+1=0 \Leftrightarrow 3 t+3=0 \Leftrightarrow t=-1$.
Suy ra $H(-2 ; 4 ;-1)$.
Vì $A^{\prime}$ đối xứng với $A$ qua $d$ nên $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $A A^{\prime}$. Do đó $A^{\prime}(0 ; 6 ;-1)$.
Suy ra $a=0 ; b=6 ; c=-1$. Vậy $P=a+b+c=0+6-1=5$.
Đáp án D.