Google
Câu hỏi: Trong không gian ${Oxyz}$, cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có ${A0;0;0}$, ${B3;0;0}$, ${D0;3;0}$, ${A}'\left( 0;0;3 \right)$. Mặt cầu ${S}$ có phương trình dạng ${x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0}$, tiếp xúc với hai đường thẳng ${B}'{D}'$ và $B{C}'$. Khi thể tích của khối cầu ${S}$ đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của ${d}$ bằng
A. $\dfrac{31}{2}$.
B. ${31}$.
C. ${14}$.
D. ${7}$.
A. $\dfrac{31}{2}$.
B. ${31}$.
C. ${14}$.
D. ${7}$.
Ta có $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ là hình lập phương nên
$ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow C\left( 3;3;0 \right)$
$AB{B}'{A}'$ là hình vuông nên $\overrightarrow{A{A}'}=\overrightarrow{B{B}'}\Rightarrow {B}'\left( 3;0;3 \right)$.
$AD{D}'{A}'$ là hình vuông nên $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{{A}'{D}'}\Rightarrow {D}'\left( 0;3;3 \right)$.
$BC{C}'{B}'$ là hình vuông nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{{B}'{C}'}\Rightarrow {C}'\left( 3;3;3 \right)$.
Do đó $\overrightarrow{{B}'{D}'}=\left( -3;3;0 \right),\overrightarrow{B{C}'}=\left( 0;3;3 \right)$ nên phương trình tham số của ${B}'{D}'$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=3-t \\
& y=t \\
& z=3 \\
\end{aligned} \right. $ và $ B{C}' $ là $ \left\{ \begin{aligned}
& x=3 \\
& y=s \\
& z=s \\
\end{aligned} \right.$.
Vì mặt cầu ${S}$ tiếp xúc với hai đường thẳng ${B}'{D}'$ và $B{C}'$ nên thể tích của khối cầu ${S}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi đường kính của mặt cầu ${S}$ là đoạn vuông góc chung của ${B}'{D}'$ và $B{C}'$.
Lấy $M\in {B}'{D}'\Rightarrow M\left( 3-t;t;3 \right)$ và $N\in B{C}'\Rightarrow N\left( 3;s;s \right)$ nên $\overrightarrow{MN}=\left( t;s-t;s-3 \right)$.
Vì $MN\bot {B}'{D}'$ và $MN\bot B{C}'$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{B}'{D}'}=0 \\
& \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{B{C}'}=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -3t+3\left( s-t \right)+0.\left( s-3 \right)=0 \\
& 0.t+3\left( s-t \right)+3.\left( s-3 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& s-2t=0 \\
& 2s-t=3 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& s=2 \\
& t=1 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow M\left( 2;1;3 \right), N\left( 3;2;2 \right)$.
Suy ra $I$ là trung điểm của đoạn $MN$ thì $I\left( \dfrac{5}{2};\dfrac{3}{2};\dfrac{5}{2} \right)$ là tâm mặt cầu ${S}$ và mặt cầu ${S}$ có bán kính $r=\dfrac{MN}{2}=\dfrac{\sqrt{{{\left( 3-2 \right)}^{2}}+{{\left( 2-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2-3 \right)}^{2}}}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Phương trình mặt cầu ${S}$ là ${{\left( x-\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( z-\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{3}{4}$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{y}^{2}}-5x-3y-5z+14=0$.
Vậy $d=14$.
$ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow C\left( 3;3;0 \right)$
$AB{B}'{A}'$ là hình vuông nên $\overrightarrow{A{A}'}=\overrightarrow{B{B}'}\Rightarrow {B}'\left( 3;0;3 \right)$.
$AD{D}'{A}'$ là hình vuông nên $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{{A}'{D}'}\Rightarrow {D}'\left( 0;3;3 \right)$.
$BC{C}'{B}'$ là hình vuông nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{{B}'{C}'}\Rightarrow {C}'\left( 3;3;3 \right)$.
Do đó $\overrightarrow{{B}'{D}'}=\left( -3;3;0 \right),\overrightarrow{B{C}'}=\left( 0;3;3 \right)$ nên phương trình tham số của ${B}'{D}'$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=3-t \\
& y=t \\
& z=3 \\
\end{aligned} \right. $ và $ B{C}' $ là $ \left\{ \begin{aligned}
& x=3 \\
& y=s \\
& z=s \\
\end{aligned} \right.$.
Vì mặt cầu ${S}$ tiếp xúc với hai đường thẳng ${B}'{D}'$ và $B{C}'$ nên thể tích của khối cầu ${S}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi đường kính của mặt cầu ${S}$ là đoạn vuông góc chung của ${B}'{D}'$ và $B{C}'$.
Lấy $M\in {B}'{D}'\Rightarrow M\left( 3-t;t;3 \right)$ và $N\in B{C}'\Rightarrow N\left( 3;s;s \right)$ nên $\overrightarrow{MN}=\left( t;s-t;s-3 \right)$.
Vì $MN\bot {B}'{D}'$ và $MN\bot B{C}'$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{B}'{D}'}=0 \\
& \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{B{C}'}=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -3t+3\left( s-t \right)+0.\left( s-3 \right)=0 \\
& 0.t+3\left( s-t \right)+3.\left( s-3 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& s-2t=0 \\
& 2s-t=3 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& s=2 \\
& t=1 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow M\left( 2;1;3 \right), N\left( 3;2;2 \right)$.
Suy ra $I$ là trung điểm của đoạn $MN$ thì $I\left( \dfrac{5}{2};\dfrac{3}{2};\dfrac{5}{2} \right)$ là tâm mặt cầu ${S}$ và mặt cầu ${S}$ có bán kính $r=\dfrac{MN}{2}=\dfrac{\sqrt{{{\left( 3-2 \right)}^{2}}+{{\left( 2-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2-3 \right)}^{2}}}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Phương trình mặt cầu ${S}$ là ${{\left( x-\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( z-\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{3}{4}$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{y}^{2}}-5x-3y-5z+14=0$.
Vậy $d=14$.
Đáp án C.
