Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y-4=0$ và hai điểm $A\left( 4;2;4 \right),B\left( 1;4;2 \right). MN$ là dây cung của mặt cầu thỏa mãn $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với $\overrightarrow{u}=\left( 0;1;1 \right)$ và $MN=4\sqrt{2}$. Tính giá trị lớn nhất của $\left| AM-BN \right|$
A. $\sqrt{49+2\sqrt{17}}$.
B. $\sqrt{32+\sqrt{17}}$.
C. $4\sqrt{17}$.
D. $3\sqrt{17}$.
A. $\sqrt{49+2\sqrt{17}}$.
B. $\sqrt{32+\sqrt{17}}$.
C. $4\sqrt{17}$.
D. $3\sqrt{17}$.
Ta có: $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với $\overrightarrow{u}=\left( 0;1;1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left( 0;k;k \right)$
Mà $MN=4\sqrt{2}\Rightarrow k=4\Leftrightarrow \overrightarrow{MN}\left( 0;4;4 \right)$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;2;0 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{0}^{2}}+4}=\sqrt{9}=3$.
Ta có: $\overrightarrow{IB}=\left( 0;2;2 \right)=2\left( 0;1;1 \right)=2\overrightarrow{u}$ nên $\overrightarrow{IB}$ cùng hướng với $\overrightarrow{MN}$.
Lại có $\overrightarrow{AB}=\left( -3;2;-2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{IB}=-3.0+2.2+2.\left( -2 \right)=0\Rightarrow \overrightarrow{AB}\bot \overrightarrow{IB}$ nên tam giác $IAB$ vuông tại $B$, hay điểm $A$ nằm trên mặt phẳng đi qua điểm
$B$ và vuông góc với $IB$ (Tham khảo ình vẽ)
Do $MN$ là dây cung của mặt cầu $\left( S \right)$ nên ta có ${{d}_{\left( I;MN \right)}}=IH=\sqrt{{{R}^{2}}-M{{H}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}-{{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}}=1$ và $\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{IB}$ nên quỹ tích dây cung $MN$ là một hình trụ nội tiếp mặt cầu có trục là $IB$ và bán kính bằng 1.
Ta có $IHNB$ là hình vuông cạnh bằng $1$ nên $BN=1=const$ (không đổi).
Lấy ${A}'$ sao cho $AMN{A}'$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{A{A}'}\Rightarrow {A}'\left( 4;6;8 \right)$
Vì $AMN{A}'$ là hình bình hành nên $AM={A}'N$.
Vậy :
$\begin{aligned}
& \left| AM-BN \right|=\left| A'N-1 \right|=\left| \sqrt{A'{{A}^{2}}+A{{N}^{2}}}-1 \right| \\
& \le \left| \sqrt{A'{{A}^{2}}+A{{B}_{2}}^{2}}-1 \right|=\left| \sqrt{{{\left( 4\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( AB+B{{B}_{2}} \right)}^{2}}}-1 \right|=\left| \sqrt{32+{{\left( \sqrt{17}+1 \right)}^{2}}}-1 \right|=\sqrt{49+2\sqrt{17}} \\
\end{aligned}$
Mà $MN=4\sqrt{2}\Rightarrow k=4\Leftrightarrow \overrightarrow{MN}\left( 0;4;4 \right)$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;2;0 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{0}^{2}}+4}=\sqrt{9}=3$.
Ta có: $\overrightarrow{IB}=\left( 0;2;2 \right)=2\left( 0;1;1 \right)=2\overrightarrow{u}$ nên $\overrightarrow{IB}$ cùng hướng với $\overrightarrow{MN}$.
Lại có $\overrightarrow{AB}=\left( -3;2;-2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{IB}=-3.0+2.2+2.\left( -2 \right)=0\Rightarrow \overrightarrow{AB}\bot \overrightarrow{IB}$ nên tam giác $IAB$ vuông tại $B$, hay điểm $A$ nằm trên mặt phẳng đi qua điểm
$B$ và vuông góc với $IB$ (Tham khảo ình vẽ)
Do $MN$ là dây cung của mặt cầu $\left( S \right)$ nên ta có ${{d}_{\left( I;MN \right)}}=IH=\sqrt{{{R}^{2}}-M{{H}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}-{{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}}=1$ và $\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{IB}$ nên quỹ tích dây cung $MN$ là một hình trụ nội tiếp mặt cầu có trục là $IB$ và bán kính bằng 1.
Ta có $IHNB$ là hình vuông cạnh bằng $1$ nên $BN=1=const$ (không đổi).
Lấy ${A}'$ sao cho $AMN{A}'$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{A{A}'}\Rightarrow {A}'\left( 4;6;8 \right)$
Vì $AMN{A}'$ là hình bình hành nên $AM={A}'N$.
Vậy :
$\begin{aligned}
& \left| AM-BN \right|=\left| A'N-1 \right|=\left| \sqrt{A'{{A}^{2}}+A{{N}^{2}}}-1 \right| \\
& \le \left| \sqrt{A'{{A}^{2}}+A{{B}_{2}}^{2}}-1 \right|=\left| \sqrt{{{\left( 4\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( AB+B{{B}_{2}} \right)}^{2}}}-1 \right|=\left| \sqrt{32+{{\left( \sqrt{17}+1 \right)}^{2}}}-1 \right|=\sqrt{49+2\sqrt{17}} \\
\end{aligned}$
Đáp án A.
