Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=4$ và đường thẳng d đi qua điểm $A\left( 1 ; 0 ; -2 \right)$ nhận vectơ $\overrightarrow{u}=(1; a; 2-a)$ (với $a\in \mathbb{R}$ ) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng d cắt $\left( S \right)$ tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của $\left( S \right)$ tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Hỏi ${{a}^{2}}$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( \dfrac{2}{5};\dfrac{2}{3} \right)$.
B. $\left( \dfrac{19}{2};10 \right)$.
C. $\left( 2 ; \dfrac{5}{2} \right)$.
D. $\left( \dfrac{7}{2};4 \right)$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1; -2; -1 \right)$, bán kính $R=2$. Suy ra $\overrightarrow{IA}= \left( 0 ; 2 ; -1 \right)$,
$\left[ \overrightarrow{IA},\overrightarrow{u} \right]=\left( 4-a ; -1 ; -2 \right)$.
Ta có $IM\bot IN$ và $IM=IN=2 \Rightarrow MN=2\sqrt{2 }; IH=\sqrt{2}$
$\Rightarrow d(I;d)=\sqrt{2}\Leftrightarrow \dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{IA},\overrightarrow{u} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=\sqrt{2}\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{{{(4-a)}^{2}}+1+4}}{\sqrt{1+{{a}^{2}}+{{(2-a)}^{2}}}}=\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}-8\text{a}+21=2(2{{\text{a}}^{2}}-4\text{a}+5)\Leftrightarrow 3{{\text{a}}^{2}}=11\Leftrightarrow {{a}^{2}}=\dfrac{11}{3}\approx 3,67\in \left( \dfrac{7}{2};4 \right)$.
A. $\left( \dfrac{2}{5};\dfrac{2}{3} \right)$.
B. $\left( \dfrac{19}{2};10 \right)$.
C. $\left( 2 ; \dfrac{5}{2} \right)$.
D. $\left( \dfrac{7}{2};4 \right)$.
$\left[ \overrightarrow{IA},\overrightarrow{u} \right]=\left( 4-a ; -1 ; -2 \right)$.
Ta có $IM\bot IN$ và $IM=IN=2 \Rightarrow MN=2\sqrt{2 }; IH=\sqrt{2}$
$\Rightarrow d(I;d)=\sqrt{2}\Leftrightarrow \dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{IA},\overrightarrow{u} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=\sqrt{2}\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{{{(4-a)}^{2}}+1+4}}{\sqrt{1+{{a}^{2}}+{{(2-a)}^{2}}}}=\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}-8\text{a}+21=2(2{{\text{a}}^{2}}-4\text{a}+5)\Leftrightarrow 3{{\text{a}}^{2}}=11\Leftrightarrow {{a}^{2}}=\dfrac{11}{3}\approx 3,67\in \left( \dfrac{7}{2};4 \right)$.
Đáp án D.
