Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=4$ và hai điểm$$ $A\left( 1;2;4 \right),B\left( 0;0;1 \right)$. Mặt phẳng $\left( P \right):ax+by+cz+3=0;\left( a,b,c\in \mathbb{R} \right)$ đi qua $A$, $B$ và cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn bán kính nhỏ nhất. Giá trị $a+b+c$ bằng
A. $-\dfrac{3}{4}$.
B. $\dfrac{33}{5}$.
C. $\dfrac{27}{4}$.
D. $\dfrac{31}{5}$.
Ta có $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -1;1;0 \right)$ và bán kính $R=2$.
$IA=\sqrt{4+1+16}=\sqrt{21}>R\Rightarrow A$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$.
$IB=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}<R\Rightarrow B$ nằm bên trong mặt cầu $\left( S \right)$.
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $I$ lên mp $\left( P \right)$ và đường thẳng $AB$.
Ta có $IH\le IK$, mà $IK$ cố định.
Do đó $\left( P \right)$ cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn bán kính nhỏ nhất $\Leftrightarrow IH$ lớn nhất $\Leftrightarrow H\equiv K$. Khi đó $\overrightarrow{IK}$ là vec tơ pháp tuyến của mp $\left( P \right)$.
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 1;2;3 \right)$, phương trình đường thẳng $AB$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=2t \\
& z=1+3t \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi $K\left( t;2t;1+3t \right)\in AB$ ; $\overrightarrow{IK}=\left( t+1;2t-1;1+3t \right)$.
Vì $\overrightarrow{IK}\bot \overrightarrow{AB}\Leftrightarrow t+1+2\left( 2t-1 \right)+3\left( 1+3t \right)=0\Leftrightarrow 14t=-2\Leftrightarrow t=-\dfrac{1}{7}$.
$\Rightarrow \overrightarrow{IK}=\left( \dfrac{6}{7};-\dfrac{9}{7};\dfrac{4}{7} \right)$ hay $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 6;-9;4 \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $6x-9y+4z-4=0\Leftrightarrow -\dfrac{9}{2}x+\dfrac{27}{4}y-3z+3=0$.
Vậy $a+b+c=-\dfrac{3}{4}$.
A. $-\dfrac{3}{4}$.
B. $\dfrac{33}{5}$.
C. $\dfrac{27}{4}$.
D. $\dfrac{31}{5}$.
$IA=\sqrt{4+1+16}=\sqrt{21}>R\Rightarrow A$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$.
$IB=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}<R\Rightarrow B$ nằm bên trong mặt cầu $\left( S \right)$.
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $I$ lên mp $\left( P \right)$ và đường thẳng $AB$.
Ta có $IH\le IK$, mà $IK$ cố định.
Do đó $\left( P \right)$ cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn bán kính nhỏ nhất $\Leftrightarrow IH$ lớn nhất $\Leftrightarrow H\equiv K$. Khi đó $\overrightarrow{IK}$ là vec tơ pháp tuyến của mp $\left( P \right)$.
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 1;2;3 \right)$, phương trình đường thẳng $AB$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=2t \\
& z=1+3t \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi $K\left( t;2t;1+3t \right)\in AB$ ; $\overrightarrow{IK}=\left( t+1;2t-1;1+3t \right)$.
Vì $\overrightarrow{IK}\bot \overrightarrow{AB}\Leftrightarrow t+1+2\left( 2t-1 \right)+3\left( 1+3t \right)=0\Leftrightarrow 14t=-2\Leftrightarrow t=-\dfrac{1}{7}$.
$\Rightarrow \overrightarrow{IK}=\left( \dfrac{6}{7};-\dfrac{9}{7};\dfrac{4}{7} \right)$ hay $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 6;-9;4 \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $6x-9y+4z-4=0\Leftrightarrow -\dfrac{9}{2}x+\dfrac{27}{4}y-3z+3=0$.
Vậy $a+b+c=-\dfrac{3}{4}$.
Đáp án A.