Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y-2z+4=0$ và đường thẳng $d: \dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z}{4}$. Hai mặt phẳng $\left( P \right), \left( Q \right)$ chứa đường thẳng $d$ và tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ lần lượt tại $M, N$. Gọi $H\left( a; b; c \right)$ là trung điểm của $MN$. Khi đó tổng $a+b+c$ bằng
A. $-\dfrac{10}{3}$.
B. $\dfrac{10}{3}$.
C. $\dfrac{14}{3}$.
D. $-\dfrac{14}{3}$.
$\left( S \right)$ có tâm mặt cầu $I\left( 1; 2; 1 \right)$, bán kính $R=\sqrt{2}$.
Gọi $K=d\cap \left( IMN \right)$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& d\bot IM \\
& d\bot IN \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d\bot \left( IMN \right)\Rightarrow d\bot IK $ nên $ K $ là hình chiếu vuông góc của $ I $ trên $ d$.
Gọi $K\left( 2t+2; -t; 4t \right)\in d$.
$\overrightarrow{IK}\left( 2t+1; -t-2; 4t-1 \right)$ ; $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2; -1; 4 \right)$.
$\overrightarrow{IK}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow 2\left( 2t+1 \right)+t+2+4\left( 4t-1 \right)=0\Leftrightarrow 21t=0\Leftrightarrow t=0\Rightarrow K\left( 2; 0; 0 \right)$.
$\dfrac{IH}{IK}=\dfrac{IH.IK}{I{{K}^{2}}}=$ $\dfrac{{{R}^{2}}}{I{{K}^{2}}}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$ $\Rightarrow \overrightarrow{IH}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{IK}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{H}}-1=\dfrac{1}{3}.1 \\
& {{y}_{H}}-2=\dfrac{1}{3}.\left( -2 \right) \\
& {{z}_{H}}-1=\dfrac{1}{3}.\left( -1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{H}}=\dfrac{4}{3} \\
& {{y}_{H}}=\dfrac{4}{3} \\
& {{z}_{H}}=\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H\left( \dfrac{4}{3}; \dfrac{4}{3}; \dfrac{2}{3} \right)$.
Vậy $a+b+c=\dfrac{10}{3}$.
A. $-\dfrac{10}{3}$.
B. $\dfrac{10}{3}$.
C. $\dfrac{14}{3}$.
D. $-\dfrac{14}{3}$.
Gọi $K=d\cap \left( IMN \right)$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& d\bot IM \\
& d\bot IN \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d\bot \left( IMN \right)\Rightarrow d\bot IK $ nên $ K $ là hình chiếu vuông góc của $ I $ trên $ d$.
Gọi $K\left( 2t+2; -t; 4t \right)\in d$.
$\overrightarrow{IK}\left( 2t+1; -t-2; 4t-1 \right)$ ; $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2; -1; 4 \right)$.
$\overrightarrow{IK}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow 2\left( 2t+1 \right)+t+2+4\left( 4t-1 \right)=0\Leftrightarrow 21t=0\Leftrightarrow t=0\Rightarrow K\left( 2; 0; 0 \right)$.
$\dfrac{IH}{IK}=\dfrac{IH.IK}{I{{K}^{2}}}=$ $\dfrac{{{R}^{2}}}{I{{K}^{2}}}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$ $\Rightarrow \overrightarrow{IH}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{IK}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{H}}-1=\dfrac{1}{3}.1 \\
& {{y}_{H}}-2=\dfrac{1}{3}.\left( -2 \right) \\
& {{z}_{H}}-1=\dfrac{1}{3}.\left( -1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{H}}=\dfrac{4}{3} \\
& {{y}_{H}}=\dfrac{4}{3} \\
& {{z}_{H}}=\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H\left( \dfrac{4}{3}; \dfrac{4}{3}; \dfrac{2}{3} \right)$.
Vậy $a+b+c=\dfrac{10}{3}$.
Đáp án B.