Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=4$ và đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( 1;0;-2 \right)$ nhận $\overrightarrow{u}=\left( 1;a;4-a \right)$ (với $a\in \mathbb{R}$ ) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng $d$ cắt $\left( S \right)$ tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của $\left( S \right)$ tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Hỏi ${{a}^{2}}$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 8;\dfrac{17}{2} \right)$.
B. $\left( 25;\dfrac{51}{2} \right)$.
C. $\left( \dfrac{23}{2};12 \right)$.
D. $\left( \dfrac{3}{2};2 \right)$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;-2;-1 \right)$ bán kính $R=2$
Gọi $C,D$ là các giao điểm của $d$ với mặt cầu. Từ giả thiết bài ra suy ra $\Delta ICD$ vuông cân tại $I$, có $IC=ID=2\Rightarrow d\left( I;d \right)=IH=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$.
Ta lại có $d\left( I;d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{IA},\overrightarrow{u} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=\sqrt{2}\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}-16a+69}}{\sqrt{2{{a}^{2}}-8a+17}}=\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}-16a+69=4{{a}^{2}}-16a+34\Leftrightarrow 3{{a}^{2}}=35\Leftrightarrow {{a}^{2}}=\dfrac{35}{3}\in \left( \dfrac{23}{2};12 \right)$.
A. $\left( 8;\dfrac{17}{2} \right)$.
B. $\left( 25;\dfrac{51}{2} \right)$.
C. $\left( \dfrac{23}{2};12 \right)$.
D. $\left( \dfrac{3}{2};2 \right)$.
Gọi $C,D$ là các giao điểm của $d$ với mặt cầu. Từ giả thiết bài ra suy ra $\Delta ICD$ vuông cân tại $I$, có $IC=ID=2\Rightarrow d\left( I;d \right)=IH=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$.
Ta lại có $d\left( I;d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{IA},\overrightarrow{u} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=\sqrt{2}\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}-16a+69}}{\sqrt{2{{a}^{2}}-8a+17}}=\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}-16a+69=4{{a}^{2}}-16a+34\Leftrightarrow 3{{a}^{2}}=35\Leftrightarrow {{a}^{2}}=\dfrac{35}{3}\in \left( \dfrac{23}{2};12 \right)$.
Đáp án C.
