Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x+y-2z+8=0$ và mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+4z-3=0$. Giả sử $M\in \left( P \right)$ và $N\in \left( S \right)$ sao cho $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{u}=\left( 0;1;-1 \right)$ và khoảng cách giữa $M$ và $N$ nhỏ nhất. Tính $MN$.
A. $MN=2\sqrt{2}$.
B. $MN=2$.
C. $MN=\sqrt{3}$.
D. $MN=3\sqrt{2}$.
A. $MN=2\sqrt{2}$.
B. $MN=2$.
C. $MN=\sqrt{3}$.
D. $MN=3\sqrt{2}$.
Ta có $\left( S \right):\left\{ \begin{matrix}
I\left( 1;1;-2 \right) \\
R=3 \\
\end{matrix} \right.$$\Rightarrow d\left( I,\left( P \right) \right)=5$.
Do $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{u}=\left( 0;1;-1 \right)$ nên $\sin \left( MN,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}_{\left( P \right)} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|\left| \overrightarrow{n}_{\left( P \right)} \right|}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
Gọi $N'$ là hình chiếu của $N$ trên $\left( P \right)$, khi đó tam giác $NMN'$ vuông tại $N'$
$\Rightarrow MN=\dfrac{NN'}{\sin \left( MN,\left( P \right) \right)}$.
Vậy để khoảng cách giữa $M$ và $N$ nhỏ nhất THÌ $NN'$ nhỏ nhất.
Ta có $N{{{N}'}_{\min }}=\text{d}\left( I,\left( P \right) \right)-R=2$ $\Rightarrow M{{N}_{\min }}=2\sqrt{2}$.
Đẳng thức xảy ra khi $I$, $N'$, $N$ thẳng và $N$ nằm giữa $I$ và ${N}'$.
I\left( 1;1;-2 \right) \\
R=3 \\
\end{matrix} \right.$$\Rightarrow d\left( I,\left( P \right) \right)=5$.
Do $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{u}=\left( 0;1;-1 \right)$ nên $\sin \left( MN,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}_{\left( P \right)} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|\left| \overrightarrow{n}_{\left( P \right)} \right|}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
Gọi $N'$ là hình chiếu của $N$ trên $\left( P \right)$, khi đó tam giác $NMN'$ vuông tại $N'$
$\Rightarrow MN=\dfrac{NN'}{\sin \left( MN,\left( P \right) \right)}$.
Vậy để khoảng cách giữa $M$ và $N$ nhỏ nhất THÌ $NN'$ nhỏ nhất.
Ta có $N{{{N}'}_{\min }}=\text{d}\left( I,\left( P \right) \right)-R=2$ $\Rightarrow M{{N}_{\min }}=2\sqrt{2}$.
Đẳng thức xảy ra khi $I$, $N'$, $N$ thẳng và $N$ nằm giữa $I$ và ${N}'$.
Đáp án A.