Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-1}{2}$ và hai điểm $A\left( 0;1;-4 \right), B\left( 4;-7;-4 \right)$. Gọi $M$ là điểm nằm trên mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y-z+10=0$ sao cho $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=A{{M}^{2}}$. Tìm khoảng cách nhỏ nhất từ $M$ tới đường thẳng $d$ ?
A. $2\sqrt{3}$.
B. 6.
C. $\sqrt{58}$.
D. $3\sqrt{2}$.
A. $2\sqrt{3}$.
B. 6.
C. $\sqrt{58}$.
D. $3\sqrt{2}$.
Có $\overrightarrow{AM}=\left( x;y-1;z+4 \right) ; \overrightarrow{AB}=\left( 4;-8;0 \right)$
$\Rightarrow $ $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=4x-8y+8$
Do đó $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=A{{M}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+6y+8z+9=0$
Vậy $\left\{ M \right\}=\left( P \right)\cap \left( S \right)\Rightarrow M\in \left( C \right)$ là đường tròn giao tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt cầu $\left( S \right)$, với $H$ là tâm và $r$ là bán kính.
$H:\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+3}{2}=\dfrac{z+4}{-1} \\
& 2x+2y-z+10=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-\dfrac{2}{3} \\
& y=-\dfrac{17}{3} \\
& z=-\dfrac{8}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $H\left( -\dfrac{2}{3};-\dfrac{17}{3};-\dfrac{8}{3} \right); r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I,\left( P \right) \right)}=2$
Mặt khác $d//\left( P \right)$. Gọi ${{d}_{1}}$ là hình chiếu vuông góc của $d$ lên $\left( P \right)$ có phương trình
${{d}_{1}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=-3+2t \\
& z=2-t \\
\end{aligned} \right.$
Gọi $T$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $d$
$K$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên ${{d}_{1}}$
Ta có $M{{T}^{2}}=T{{K}^{2}}+M{{K}^{2}}$
Do đó $M{{T}_{\min }}\Leftrightarrow M{{K}_{\min }}$
Mà $MK\ge \left( HK-HM \right)$ Do đó $M{{K}_{\min }}=HK-HM$
Với $\left\{ \begin{aligned}
& HK=d\left( {{H}_{1}},{{d}_{1}} \right)=5 \\
& HM=r=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M{{K}_{\min }}=3$
Vậy $MT_{\min }^{2}={{d}^{2}}\left( d,{{d}_{1}} \right)+{{3}^{2}}={{d}^{2}}\left( d,\left( P \right) \right)+{{3}^{2}}$
$\Leftrightarrow MT_{\min }^{2}=9+9\Leftrightarrow M{{T}_{\min }}=3\sqrt{2}$.
$\Rightarrow $ $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=4x-8y+8$
Do đó $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=A{{M}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+6y+8z+9=0$
Vậy $\left\{ M \right\}=\left( P \right)\cap \left( S \right)\Rightarrow M\in \left( C \right)$ là đường tròn giao tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt cầu $\left( S \right)$, với $H$ là tâm và $r$ là bán kính.
$H:\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+3}{2}=\dfrac{z+4}{-1} \\
& 2x+2y-z+10=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-\dfrac{2}{3} \\
& y=-\dfrac{17}{3} \\
& z=-\dfrac{8}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $H\left( -\dfrac{2}{3};-\dfrac{17}{3};-\dfrac{8}{3} \right); r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I,\left( P \right) \right)}=2$
Mặt khác $d//\left( P \right)$. Gọi ${{d}_{1}}$ là hình chiếu vuông góc của $d$ lên $\left( P \right)$ có phương trình
${{d}_{1}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=-3+2t \\
& z=2-t \\
\end{aligned} \right.$
$K$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên ${{d}_{1}}$
Ta có $M{{T}^{2}}=T{{K}^{2}}+M{{K}^{2}}$
Do đó $M{{T}_{\min }}\Leftrightarrow M{{K}_{\min }}$
Mà $MK\ge \left( HK-HM \right)$ Do đó $M{{K}_{\min }}=HK-HM$
Với $\left\{ \begin{aligned}
& HK=d\left( {{H}_{1}},{{d}_{1}} \right)=5 \\
& HM=r=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M{{K}_{\min }}=3$
Vậy $MT_{\min }^{2}={{d}^{2}}\left( d,{{d}_{1}} \right)+{{3}^{2}}={{d}^{2}}\left( d,\left( P \right) \right)+{{3}^{2}}$
$\Leftrightarrow MT_{\min }^{2}=9+9\Leftrightarrow M{{T}_{\min }}=3\sqrt{2}$.
Đáp án D.