Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng .${{d}_{1}}:\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z+2}{1};{{d}_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=-1+2t \\
& y=1+t \\
& z=3 \\
\end{aligned} \right.$ Đường vuông góc chung của hai đường thẳng đã cho có phương trình là
A. $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=2-6t \\
& z=3-2t \\
\end{aligned} \right. $.
B. $ \Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=2-t \\
& y=2t \\
& z=-1+4t \\
\end{aligned} \right. $.
C. $ \Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2-6t \\
& z=3-2t \\
\end{aligned} \right. $.
D. $ \Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=-6t \\
& z=3-2t \\
\end{aligned} \right.$.
& x=-1+2t \\
& y=1+t \\
& z=3 \\
\end{aligned} \right.$ Đường vuông góc chung của hai đường thẳng đã cho có phương trình là
A. $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=2-6t \\
& z=3-2t \\
\end{aligned} \right. $.
B. $ \Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=2-t \\
& y=2t \\
& z=-1+4t \\
\end{aligned} \right. $.
C. $ \Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2-6t \\
& z=3-2t \\
\end{aligned} \right. $.
D. $ \Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=-6t \\
& z=3-2t \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có VTCP của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ lần lượt là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2;-1;1 \right)$ và $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 2;1;0 \right)$.
Gọi $M\in {{d}_{1}}\Rightarrow M\left( 2a;1-a;-2+a \right)$ và $N\in {{d}_{2}}\Rightarrow N\left( -1+2t;1+t;3 \right)$.
Khi đó $\overrightarrow{MN}=\left( 2t-2a-1;t+a;5-a \right)$.
Để thoả mãn thì $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0 \\
& \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3t-6a=-3 \\
& 5t-3a=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=1 \\
& a=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó $\overrightarrow{MN}=\left( -1;2;4 \right)$ và $M\left( 2;0;-1 \right)$ và đường vuông góc chung của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ là $MN$ có phương trình $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=2-t \\
& y=2t \\
& z=-1+4t \\
\end{aligned} \right.$
Gọi $M\in {{d}_{1}}\Rightarrow M\left( 2a;1-a;-2+a \right)$ và $N\in {{d}_{2}}\Rightarrow N\left( -1+2t;1+t;3 \right)$.
Khi đó $\overrightarrow{MN}=\left( 2t-2a-1;t+a;5-a \right)$.
Để thoả mãn thì $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0 \\
& \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3t-6a=-3 \\
& 5t-3a=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=1 \\
& a=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó $\overrightarrow{MN}=\left( -1;2;4 \right)$ và $M\left( 2;0;-1 \right)$ và đường vuông góc chung của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ là $MN$ có phương trình $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=2-t \\
& y=2t \\
& z=-1+4t \\
\end{aligned} \right.$
Đáp án B.