Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hình lập phương $ABCD.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$ biết $A\left( 0 ;0 ;0 \right)$, $B\left( 1 ;0 ;0 \right)$, $D\left( 0 ;1 ;0 \right)$, ${{A}_{1}}\left( 0 ;0 ;1 \right)$.Gọi $\left( P \right)\text{:} ax+by+cz-3=0$ là phương trình mặt phẳng chứa $C{{D}_{1}}$ và tạo với mặt phẳng $\left( B{{B}_{1}}{{D}_{1}}D \right)$ một góc có số đo nhỏ nhất. Giá trị của $T=a+b+c$ bằng
A. $-1$.
B. $6$.
C. $4$.
D. $3$.
Dễ dàng xác định được tọa độ một số đỉnh của hình lập phương như sau: $C\left( 1 ;1 ;0 \right)$, ${{D}_{1}}\left( 0 ;1 ;1 \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $C$, ${{D}_{1}}$ nên ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& a+b-3=0 \\
& b+c-3=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( a ;b ;c \right)$.
Mặt phẳng $\left( B{{B}_{1}}{{D}_{1}}D \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{AC}=\left( 1;1;0 \right)$.
Gọi $\alpha $ là góc giữa mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( B{{B}_{1}}{{D}_{1}}D \right)$. Vì $0{}^\circ \le \alpha \le 90{}^\circ $ nên $\alpha $ nhỏ nhất khi $\cos \alpha $ lớn nhất.
Ta có: $\cos \alpha =\left| \cos \left( \overrightarrow{n},\overrightarrow{AC} \right) \right|=\dfrac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|.\left| \overrightarrow{AC} \right|}$ $=\dfrac{\left| a+b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.\sqrt{2}}$
$=\dfrac{3}{\sqrt{2}.\sqrt{{{\left( 3-b \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( 3-b \right)}^{2}}}}$ $=\dfrac{3}{\sqrt{2}.\sqrt{3{{\left( b-2 \right)}^{2}}+6}}$ $\le \dfrac{3}{\sqrt{2}.\sqrt{6}}$ $=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Đẳng thức xảy ra khi $b=2$.
Suy ra $\alpha $ nhỏ nhất bằng $30{}^\circ $ khi $b=2$ ; $a=1$ ; $c=1$.
Vậy $T=a+b+c=4$.
A. $-1$.
B. $6$.
C. $4$.
D. $3$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $C$, ${{D}_{1}}$ nên ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& a+b-3=0 \\
& b+c-3=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( a ;b ;c \right)$.
Mặt phẳng $\left( B{{B}_{1}}{{D}_{1}}D \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{AC}=\left( 1;1;0 \right)$.
Gọi $\alpha $ là góc giữa mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( B{{B}_{1}}{{D}_{1}}D \right)$. Vì $0{}^\circ \le \alpha \le 90{}^\circ $ nên $\alpha $ nhỏ nhất khi $\cos \alpha $ lớn nhất.
Ta có: $\cos \alpha =\left| \cos \left( \overrightarrow{n},\overrightarrow{AC} \right) \right|=\dfrac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|.\left| \overrightarrow{AC} \right|}$ $=\dfrac{\left| a+b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.\sqrt{2}}$
$=\dfrac{3}{\sqrt{2}.\sqrt{{{\left( 3-b \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( 3-b \right)}^{2}}}}$ $=\dfrac{3}{\sqrt{2}.\sqrt{3{{\left( b-2 \right)}^{2}}+6}}$ $\le \dfrac{3}{\sqrt{2}.\sqrt{6}}$ $=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Đẳng thức xảy ra khi $b=2$.
Suy ra $\alpha $ nhỏ nhất bằng $30{}^\circ $ khi $b=2$ ; $a=1$ ; $c=1$.
Vậy $T=a+b+c=4$.
Đáp án C.