Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng chéo nhau ${{d}_{1}}:\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-6}{-2}=\dfrac{z+2}{1}$ và ${{d}_{2}}:\dfrac{x-4}{1}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z+2}{-2}$. Gọi mặt phẳng $\left( P \right)$ là chứa ${{d}_{1}}$ và $\left( P \right)$ song song với đường thẳng ${{d}_{2}}$. Khoảng cách từ điểm $M\left( 1;1;1 \right)$ đến $\left( P \right)$ bằng
A. $\sqrt{10}$.
B. $\dfrac{1}{\sqrt{53}}$.
C. $\dfrac{2}{3\sqrt{10}}$.
D. $\dfrac{3}{\sqrt{5}}$.
A. $\sqrt{10}$.
B. $\dfrac{1}{\sqrt{53}}$.
C. $\dfrac{2}{3\sqrt{10}}$.
D. $\dfrac{3}{\sqrt{5}}$.
Đường thẳng ${{d}_{1}}$ đi qua $A\left( 2;6;-2 \right)$ và có một véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2;-2;1 \right)$.
Đường thẳng ${{d}_{2}}$ có một véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;3;-2 \right)$.
Gọi $\overrightarrow{n}$ là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$. Do mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa ${{d}_{1}}$ và $\left( P \right)$ song song với đường thẳng ${{d}_{2}}$ nên $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( 1;5;8 \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A\left( 2;6;-2 \right)$ và có một véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1;5;8 \right)$ là $x+5y+8z-16=0$.
Vậy $\text{d}\left( M,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| {{x}_{M}}+5{{y}_{M}}+8{{z}_{M}}-16 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{5}^{2}}+{{8}^{2}}}}=\dfrac{2}{3\sqrt{10}}$.
Đường thẳng ${{d}_{2}}$ có một véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;3;-2 \right)$.
Gọi $\overrightarrow{n}$ là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$. Do mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa ${{d}_{1}}$ và $\left( P \right)$ song song với đường thẳng ${{d}_{2}}$ nên $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( 1;5;8 \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A\left( 2;6;-2 \right)$ và có một véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1;5;8 \right)$ là $x+5y+8z-16=0$.
Vậy $\text{d}\left( M,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| {{x}_{M}}+5{{y}_{M}}+8{{z}_{M}}-16 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{5}^{2}}+{{8}^{2}}}}=\dfrac{2}{3\sqrt{10}}$.
Đáp án C.