Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x+2}{4}=\dfrac{y-1}{-4}=\dfrac{z+2}{3}$ và mặt phẳng $(P): 2 x-y+2 z+1=0$. Đường thẳng $\Delta$ song song với $(P)$ đồng thời tạo với $d$ góc bé nhất. Biết rằng $\Delta$ có một véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(m;n;1)$. Giá trị biểu thức $T=m^{2}+n^{2}$ bằng
A. $T=5$.
B. $T=2$.
C. $T=3$.
D. $T=4$.
A. $T=5$.
B. $T=2$.
C. $T=3$.
D. $T=4$.
Véc tơ chỉ phương $d:{{\overrightarrow{u}}_{d}}=(4;-4;3)$, véc tơ pháp tuyến $(P):{{\overrightarrow{n}}_{P}}=(2;-1;2)$.
Ta có $\vec{u}.{{\vec{n}}_{P}}=0\Leftrightarrow 2m-n+2=0\Leftrightarrow n=2m+2$.
$\begin{aligned}
& \cos (\Delta ,d)=\dfrac{\left| \vec{u}.{{{\vec{u}}}_{d}} \right|}{\left| {\vec{u}} \right|.\left| {{{\vec{u}}}_{d}} \right|}=\dfrac{\left| 4m-4n+3 \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{(-4)}^{2}}+{{3}^{2}}}\sqrt{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{\left| 4m-4(2m+2)+3 \right|}{\sqrt{41}\sqrt{{{m}^{2}}+{{(2m+2)}^{2}}+1}} \\
& =\dfrac{\left| 4m+5 \right|}{\sqrt{41}\sqrt{5{{m}^{2}}+8m+5}}=\dfrac{1}{\sqrt{41}}\sqrt{\dfrac{{{\left( 4m+5 \right)}^{2}}}{\sqrt{5{{m}^{2}}+8m+5}}}=\dfrac{1}{\sqrt{41}}\sqrt{\dfrac{16{{m}^{2}}+40m+25}{5{{m}^{2}}+8m+5}}. \\
\end{aligned}$
Đặt $f(m)=\dfrac{16{{m}^{2}}+40m+25}{5{{m}^{2}}+8m+5}$ ; ${f}'(m)=\dfrac{-72{{m}^{2}}-90m}{{{\left( 5{{m}^{2}}+8m+5 \right)}^{2}}}$.
${f}'(m)=0\Leftrightarrow -72{{m}^{2}}-90m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=-\dfrac{5}{4}. \\
\end{aligned} \right.$
Có $\underset{m\to \pm \infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{16{{m}^{2}}+40m+25}{5{{m}^{2}}+8m+5}=\dfrac{16}{5}$.
Ta có bảng biến thiên
Góc giữa $d$ và $\Delta$ bé nhất khi $f(m)$ lớn nhất. Khi đó dựa vào bảng biến thiên ta thấy $m=0\Rightarrow n=2$. Vậy $T={{m}^{2}}+{{n}^{2}}=0+4=4$.
Cách khác:
Gọi ${\Delta }'$ là hình chiếu của $d$ lên $(P)$, khi đó góc của $\left( P \right)$ và $d$ là góc của $d$ và $\Delta$. Mà $\Delta \text{//}(P)$ nên góc $\Delta$ và d nhỏ nhất khi $\Delta \text{//}{\Delta }'$.
Véc tơ chỉ phương $d:{{\overrightarrow{u}}_{d}}=(4;-4;3)$, véc tơ pháp tuyến $(P):{{\overrightarrow{n}}_{P}}=(2;-1;2)$. Gọi $(Q)$ là mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc với $(P)\Rightarrow $ véc tơ pháp tuyến ${{\overrightarrow{n}}_{Q}}=\left[ {{\overrightarrow{u}}_{d}},{{\overrightarrow{n}}_{P}} \right]=(-5;-2;4)$, ${\Delta }'$ là hình chiếu của $d$ lên $(P)$ $\Rightarrow {\Delta }'=(P)\cap (Q)\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}_{{{\Delta }'}}}=\left[ {{\overrightarrow{u}}_{P}},{{\overrightarrow{n}}_{Q}} \right]=(0;-18;-9)=-2(0;2;1)$.
$T={{m}^{2}}+{{n}^{2}}=0+4=4$.
Ta có $\vec{u}.{{\vec{n}}_{P}}=0\Leftrightarrow 2m-n+2=0\Leftrightarrow n=2m+2$.
$\begin{aligned}
& \cos (\Delta ,d)=\dfrac{\left| \vec{u}.{{{\vec{u}}}_{d}} \right|}{\left| {\vec{u}} \right|.\left| {{{\vec{u}}}_{d}} \right|}=\dfrac{\left| 4m-4n+3 \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{(-4)}^{2}}+{{3}^{2}}}\sqrt{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{\left| 4m-4(2m+2)+3 \right|}{\sqrt{41}\sqrt{{{m}^{2}}+{{(2m+2)}^{2}}+1}} \\
& =\dfrac{\left| 4m+5 \right|}{\sqrt{41}\sqrt{5{{m}^{2}}+8m+5}}=\dfrac{1}{\sqrt{41}}\sqrt{\dfrac{{{\left( 4m+5 \right)}^{2}}}{\sqrt{5{{m}^{2}}+8m+5}}}=\dfrac{1}{\sqrt{41}}\sqrt{\dfrac{16{{m}^{2}}+40m+25}{5{{m}^{2}}+8m+5}}. \\
\end{aligned}$
Đặt $f(m)=\dfrac{16{{m}^{2}}+40m+25}{5{{m}^{2}}+8m+5}$ ; ${f}'(m)=\dfrac{-72{{m}^{2}}-90m}{{{\left( 5{{m}^{2}}+8m+5 \right)}^{2}}}$.
${f}'(m)=0\Leftrightarrow -72{{m}^{2}}-90m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=-\dfrac{5}{4}. \\
\end{aligned} \right.$
Có $\underset{m\to \pm \infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{16{{m}^{2}}+40m+25}{5{{m}^{2}}+8m+5}=\dfrac{16}{5}$.
Ta có bảng biến thiên
Cách khác:
Gọi ${\Delta }'$ là hình chiếu của $d$ lên $(P)$, khi đó góc của $\left( P \right)$ và $d$ là góc của $d$ và $\Delta$. Mà $\Delta \text{//}(P)$ nên góc $\Delta$ và d nhỏ nhất khi $\Delta \text{//}{\Delta }'$.
Véc tơ chỉ phương $d:{{\overrightarrow{u}}_{d}}=(4;-4;3)$, véc tơ pháp tuyến $(P):{{\overrightarrow{n}}_{P}}=(2;-1;2)$. Gọi $(Q)$ là mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc với $(P)\Rightarrow $ véc tơ pháp tuyến ${{\overrightarrow{n}}_{Q}}=\left[ {{\overrightarrow{u}}_{d}},{{\overrightarrow{n}}_{P}} \right]=(-5;-2;4)$, ${\Delta }'$ là hình chiếu của $d$ lên $(P)$ $\Rightarrow {\Delta }'=(P)\cap (Q)\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}_{{{\Delta }'}}}=\left[ {{\overrightarrow{u}}_{P}},{{\overrightarrow{n}}_{Q}} \right]=(0;-18;-9)=-2(0;2;1)$.
$T={{m}^{2}}+{{n}^{2}}=0+4=4$.
Đáp án D.