Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( 0;0;2 \right),\text{B}\left( 1;1;0 \right)$ và mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=\dfrac{1}{4}$. Xét điểm M thay đổi thuộc $\left( S \right)$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}$ bằng:
A. $\dfrac{1}{2}$
B. $\dfrac{3}{4}$
C. $\dfrac{21}{4}$
D. $\dfrac{19}{4}$
Gọi $I\left( a;b;c \right)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& -a+2-2\text{a}=0 \\
& -b+2-2b=0 \\
& 2-c-2c=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{2}{3} \\
& b=\dfrac{2}{3} \\
& c=\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( \dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3} \right)$
Ta có: $M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}$
$=M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{MA}+I{{A}^{2}}+2M{{I}^{2}}+4\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IB}+I{{B}^{2}}$
$=3M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}+2\overrightarrow{MI}\underbrace{\left( \overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB} \right)}_{0}=3M{{I}^{2}}+\underbrace{I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}}_{const}$
Do $\left\{ \begin{aligned}
& I{{A}^{2}}={{\left( -\dfrac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( -\dfrac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( 2-\dfrac{2}{3} \right)}^{2}}=\dfrac{8}{3} \\
& I{{B}^{2}}={{\left( 1-\dfrac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( 1-\dfrac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( -\dfrac{2}{3} \right)}^{2}}=\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}=4$ không đổi, nên
${{\left( M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}} \right)}_{\min }}\Leftrightarrow M{{I}_{\min }}$ với $I\left( \dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3} \right),\text{ M}\in \left( S \right)$.
Ta có ${{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{2}{3}-1 \right)}^{2}}=1>\dfrac{1}{4}\Rightarrow I$ nằm ngoài $\left( S \right)$
Khi đó $M{{I}_{\min }}=IJ-R$ với $J\left( 0;0;1 \right)$ là tâm mặt cầu, $R=\dfrac{1}{2}$ là bán kính mặt cầu.
Ta có: $\text{IJ}=\sqrt{{{\left( -\dfrac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( -\dfrac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( 1-\dfrac{2}{3} \right)}^{2}}}=1\Rightarrow M{{I}_{\min }}=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$
Vậy ${{\left( M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}} \right)}_{\min }}=3MI_{\min }^{2}+4=3.{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+4=\dfrac{19}{4}$.
A. $\dfrac{1}{2}$
B. $\dfrac{3}{4}$
C. $\dfrac{21}{4}$
D. $\dfrac{19}{4}$
Gọi $I\left( a;b;c \right)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& -a+2-2\text{a}=0 \\
& -b+2-2b=0 \\
& 2-c-2c=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{2}{3} \\
& b=\dfrac{2}{3} \\
& c=\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( \dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3} \right)$
Ta có: $M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}$
$=M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{MA}+I{{A}^{2}}+2M{{I}^{2}}+4\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IB}+I{{B}^{2}}$
$=3M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}+2\overrightarrow{MI}\underbrace{\left( \overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB} \right)}_{0}=3M{{I}^{2}}+\underbrace{I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}}_{const}$
Do $\left\{ \begin{aligned}
& I{{A}^{2}}={{\left( -\dfrac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( -\dfrac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( 2-\dfrac{2}{3} \right)}^{2}}=\dfrac{8}{3} \\
& I{{B}^{2}}={{\left( 1-\dfrac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( 1-\dfrac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( -\dfrac{2}{3} \right)}^{2}}=\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}=4$ không đổi, nên
${{\left( M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}} \right)}_{\min }}\Leftrightarrow M{{I}_{\min }}$ với $I\left( \dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3} \right),\text{ M}\in \left( S \right)$.
Ta có ${{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{2}{3}-1 \right)}^{2}}=1>\dfrac{1}{4}\Rightarrow I$ nằm ngoài $\left( S \right)$
Khi đó $M{{I}_{\min }}=IJ-R$ với $J\left( 0;0;1 \right)$ là tâm mặt cầu, $R=\dfrac{1}{2}$ là bán kính mặt cầu.
Ta có: $\text{IJ}=\sqrt{{{\left( -\dfrac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( -\dfrac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( 1-\dfrac{2}{3} \right)}^{2}}}=1\Rightarrow M{{I}_{\min }}=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$
Vậy ${{\left( M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}} \right)}_{\min }}=3MI_{\min }^{2}+4=3.{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+4=\dfrac{19}{4}$.
Đáp án D.
