Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho bốn điểm $A\left( 1;-1;2 \right)$, $B\left( 2;-1;1 \right),C\left( 1;-1;2 \right),D\left( 3;5;-6 \right)$. Điểm $M\left( a;b;c \right)$ di động trên mặt phẳng $\left( Oxy \right)$. Khi biểu thức $P=6M{{A}^{2}}+4M{{B}^{2}}-8M{{C}^{2}}+M{{D}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng $a+b+c$ bằng
A. $-3$.
B. $2$.
C. $8$.
D. $1$.
A. $-3$.
B. $2$.
C. $8$.
D. $1$.
Xét điểm $I:6\overrightarrow{IA}+4\overrightarrow{IB}-8\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}\Rightarrow I=\dfrac{6A+4B-8C+D}{6+4-8+1}\Rightarrow I\left( 3;5;-2 \right)$.
Khi đó
$\begin{aligned}
& P=6M{{A}^{2}}+4M{{B}^{2}}-8M{{C}^{2}}+M{{D}^{2}}=6{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+4{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}-8{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{ID} \right)}^{2}} \\
& =3M{{I}^{2}}+6I{{A}^{2}}+4I{{B}^{2}}-8I{{C}^{2}}+I{{D}^{2}} \\
\end{aligned}$.
Khi ${{P}_{\min }}\Leftrightarrow M{{I}_{\min }}$. Khi đó $M$ là hình chiếu của $I$ trên $Oxy:M\left( 3;5;0 \right)$. Do đó $a+b+c=8$.
Khi đó
$\begin{aligned}
& P=6M{{A}^{2}}+4M{{B}^{2}}-8M{{C}^{2}}+M{{D}^{2}}=6{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+4{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}-8{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{ID} \right)}^{2}} \\
& =3M{{I}^{2}}+6I{{A}^{2}}+4I{{B}^{2}}-8I{{C}^{2}}+I{{D}^{2}} \\
\end{aligned}$.
Khi ${{P}_{\min }}\Leftrightarrow M{{I}_{\min }}$. Khi đó $M$ là hình chiếu của $I$ trên $Oxy:M\left( 3;5;0 \right)$. Do đó $a+b+c=8$.
Đáp án C.