Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 1; 0; -2 \right)$, $B\left( 3;-4; 2 \right)$. Gọi $M$ là điểm thỏa mãn $MA=MB$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left| \overrightarrow{MO}-\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB} \right|$ với $O$ là gốc tọa độ.
A. $\dfrac{10}{3}$.
B. $\dfrac{7}{2}$.
C. $7$.
D. $8$.
A. $\dfrac{10}{3}$.
B. $\dfrac{7}{2}$.
C. $7$.
D. $8$.
Do $M$ là điểm thỏa mãn $MA=MB$ nên $M$ thuộc mp trung trực của $AB$ có phương trình là:
$\left( \alpha \right):x-2y+2z-6=0$.
Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IO}-\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$, dễ dàng xác định được $I\left( \dfrac{5}{2};-4;3 \right)$.
Khi đó $\left| \overrightarrow{MO}-\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB} \right|=\left| 2\overrightarrow{MI} \right|=2MI$.
Biểu thức $\left| \overrightarrow{MO}-\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $2MI$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow $ $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $\left( \alpha \right)$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left| \overrightarrow{MO}-\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB} \right|$ bằng
$2d\left( I;\left( \alpha \right) \right)=2.\dfrac{\left| \dfrac{5}{2}+8+6-6 \right|}{\sqrt{1+4+4}}=2.\dfrac{\left| \dfrac{21}{2} \right|}{3}=7$.
$\left( \alpha \right):x-2y+2z-6=0$.
Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IO}-\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$, dễ dàng xác định được $I\left( \dfrac{5}{2};-4;3 \right)$.
Khi đó $\left| \overrightarrow{MO}-\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB} \right|=\left| 2\overrightarrow{MI} \right|=2MI$.
Biểu thức $\left| \overrightarrow{MO}-\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $2MI$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow $ $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $\left( \alpha \right)$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left| \overrightarrow{MO}-\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB} \right|$ bằng
$2d\left( I;\left( \alpha \right) \right)=2.\dfrac{\left| \dfrac{5}{2}+8+6-6 \right|}{\sqrt{1+4+4}}=2.\dfrac{\left| \dfrac{21}{2} \right|}{3}=7$.
Đáp án C.