Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z+3}{-2}$ và điểm $A\left( 4; 0; 0 \right)$. Gọi $M$ là điểm nằm trên đường thẳng $d$ sao cho diện tích tam giác $MOA$ bằng $2\sqrt{5}$. Biết điểm $M$ có hoành độ âm. Toạ độ điểm $M$ là
A. $M\left( -3; 4; 5 \right)$.
B. $M\left( -2; 3; 3 \right)$.
C. $M\left( -1; 2; 1 \right)$.
D. $M\left( -4; 5; 7 \right)$.
A. $M\left( -3; 4; 5 \right)$.
B. $M\left( -2; 3; 3 \right)$.
C. $M\left( -1; 2; 1 \right)$.
D. $M\left( -4; 5; 7 \right)$.
Phương trình tham só của $d$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=-t \\
& z=-3-2t \\
\end{aligned} \right. $. Vì $ M\in d $ nên gọi $ M\left( 1+t; -t; -3-2t \right)$.
Ta có $\overrightarrow{OA}=\left( 4; 0; 0 \right)$ ; $\overrightarrow{OM}=\left( 1+t; -t; -3-2t \right)$ $\Rightarrow \left[ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM} \right]=\left( 0; 12+8t; -4t \right)$.
Diện tích tam giác $MOA$ là $S=\dfrac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM} \right] \right|=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{\left( 12+8t \right)}^{2}}+16{{t}^{2}}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{80{{t}^{2}}+192t+144}$.
Vì diện tích tam giác $MOA$ bằng $2\sqrt{5}$ nên $\dfrac{1}{2}\sqrt{80{{t}^{2}}+192t+144}=2\sqrt{5}$
$\Leftrightarrow 80{{t}^{2}}+192t+144=80$ $\Leftrightarrow 80{{t}^{2}}+192t+64=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-\dfrac{2}{5} \\
& t=-2 \\
\end{aligned} \right.$.
+ Với $t=-\dfrac{2}{5}$ $\Rightarrow M\left( \dfrac{3}{5}; \dfrac{2}{5}; -\dfrac{11}{5} \right)$ (loại vì $M$ có hoành độ âm)
+ Với $t=-2$ $\Rightarrow M\left( -1; 2; 1 \right)$ (thoả mãn).
& x=1+t \\
& y=-t \\
& z=-3-2t \\
\end{aligned} \right. $. Vì $ M\in d $ nên gọi $ M\left( 1+t; -t; -3-2t \right)$.
Ta có $\overrightarrow{OA}=\left( 4; 0; 0 \right)$ ; $\overrightarrow{OM}=\left( 1+t; -t; -3-2t \right)$ $\Rightarrow \left[ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM} \right]=\left( 0; 12+8t; -4t \right)$.
Diện tích tam giác $MOA$ là $S=\dfrac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM} \right] \right|=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{\left( 12+8t \right)}^{2}}+16{{t}^{2}}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{80{{t}^{2}}+192t+144}$.
Vì diện tích tam giác $MOA$ bằng $2\sqrt{5}$ nên $\dfrac{1}{2}\sqrt{80{{t}^{2}}+192t+144}=2\sqrt{5}$
$\Leftrightarrow 80{{t}^{2}}+192t+144=80$ $\Leftrightarrow 80{{t}^{2}}+192t+64=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-\dfrac{2}{5} \\
& t=-2 \\
\end{aligned} \right.$.
+ Với $t=-\dfrac{2}{5}$ $\Rightarrow M\left( \dfrac{3}{5}; \dfrac{2}{5}; -\dfrac{11}{5} \right)$ (loại vì $M$ có hoành độ âm)
+ Với $t=-2$ $\Rightarrow M\left( -1; 2; 1 \right)$ (thoả mãn).
Đáp án C.
