Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai đường thẳng $a:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{-2};$ $b:\dfrac{x+1}{-2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+1}{-1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x-y-z=0.$ Viết phương trình của đường thẳng $d~$ song song với $\left( P \right)$, cắt $a$ và $b$ lần lượt tại $M$ và $N$ mà $MN=\sqrt{2}.$.
A. $d:\dfrac{7x-1}{3}=\dfrac{7y+4}{8}=\dfrac{7z+8}{-5}$.
B. $d:\dfrac{7x-4}{3}=\dfrac{7y+4}{8}=\dfrac{7z+8}{-5}$.
C. $d:\dfrac{7x+4}{3}=\dfrac{7y-4}{8}=\dfrac{7z+8}{-5}$.
D. $d:\dfrac{7x-1}{3}=\dfrac{7y-4}{8}=\dfrac{7z+3}{-5}$.
A. $d:\dfrac{7x-1}{3}=\dfrac{7y+4}{8}=\dfrac{7z+8}{-5}$.
B. $d:\dfrac{7x-4}{3}=\dfrac{7y+4}{8}=\dfrac{7z+8}{-5}$.
C. $d:\dfrac{7x+4}{3}=\dfrac{7y-4}{8}=\dfrac{7z+8}{-5}$.
D. $d:\dfrac{7x-1}{3}=\dfrac{7y-4}{8}=\dfrac{7z+3}{-5}$.
Gọi $M\left( t;t;-2t \right)$ và $N\left( -1-2t',t',-1-t' \right)$. Suy ra $\overrightarrow{MN}=\left( -1-2t'-t;t'-t;-1-t'+2t \right)$.
Do đường thẳng $d~$ song song với $\left( P \right)$ nên $-1-2t'-t-t'+t+1+t'-2t=0\Leftrightarrow t=-t'$.
Khi đó $\overrightarrow{MN}=\left( -1+t;-2t;-1+3t \right)\Rightarrow MN=\sqrt{14{{t}^{2}}-8t+2}$.
Ta có $MN=\sqrt{2}\Leftrightarrow 14{{t}^{2}}-8t+2=2\Leftrightarrow t=0\vee t=\dfrac{4}{7}$.
Với $t=0$ thì $\overrightarrow{MN}=\left( -1;0;-1 \right)$ ( loại do không có đáp án thỏa mãn ).
Với $t=\dfrac{4}{7}$ thì $\overrightarrow{MN}=\left( -\dfrac{3}{7};-\dfrac{8}{7};\dfrac{5}{7} \right)=-\dfrac{1}{7}\left( 3;8;-5 \right)$ và $M\left( \dfrac{4}{7};\dfrac{4}{7};-\dfrac{8}{7} \right)$.
Vậy $\dfrac{x-\dfrac{4}{7}}{3}=\dfrac{y-\dfrac{4}{7}}{8}=\dfrac{z+\dfrac{8}{7}}{-5}\Leftrightarrow \dfrac{7x-4}{3}=\dfrac{7y-4}{8}=\dfrac{7z+8}{-5}.$.
Do đường thẳng $d~$ song song với $\left( P \right)$ nên $-1-2t'-t-t'+t+1+t'-2t=0\Leftrightarrow t=-t'$.
Khi đó $\overrightarrow{MN}=\left( -1+t;-2t;-1+3t \right)\Rightarrow MN=\sqrt{14{{t}^{2}}-8t+2}$.
Ta có $MN=\sqrt{2}\Leftrightarrow 14{{t}^{2}}-8t+2=2\Leftrightarrow t=0\vee t=\dfrac{4}{7}$.
Với $t=0$ thì $\overrightarrow{MN}=\left( -1;0;-1 \right)$ ( loại do không có đáp án thỏa mãn ).
Với $t=\dfrac{4}{7}$ thì $\overrightarrow{MN}=\left( -\dfrac{3}{7};-\dfrac{8}{7};\dfrac{5}{7} \right)=-\dfrac{1}{7}\left( 3;8;-5 \right)$ và $M\left( \dfrac{4}{7};\dfrac{4}{7};-\dfrac{8}{7} \right)$.
Vậy $\dfrac{x-\dfrac{4}{7}}{3}=\dfrac{y-\dfrac{4}{7}}{8}=\dfrac{z+\dfrac{8}{7}}{-5}\Leftrightarrow \dfrac{7x-4}{3}=\dfrac{7y-4}{8}=\dfrac{7z+8}{-5}.$.
Đáp án D.