Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng...

Ta có điểm $A\left( 1;1;0 \right)$ là giao điểm của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$.
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ${{d}_{1}}$ là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\left( 1;2;-1 \right)$.
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ${{d}_{2}}$ là $\overrightarrow{{{u}_{2}}}\left( -1;1;2 \right)$.Ta xét:
$\overrightarrow{{{v}_{1}}}=\dfrac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}$ $=\dfrac{1}{\sqrt{6}}\left( 1;2;-1 \right)$
$\overrightarrow{{{v}_{2}}}=\dfrac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ $=\dfrac{1}{\sqrt{6}}\left( -1;1;2 \right)$
Nhận thấy $\overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}<0$, nên ta có $\overrightarrow{\text{w}}=\overrightarrow{{{v}_{1}}}-\overrightarrow{{{v}_{2}}}$ $=\dfrac{1}{\sqrt{6}}\left( 2;1;-3 \right)$ là vectơ chỉ phương của đường phân giác của góc nhọn tạo bởi ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ hay đường phân giác $\Delta $ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{\text{w}}_{1}}}=\left( 2;1;-3 \right)$. Do đó có phương trình đường thẳng $\Delta $ :$\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=1+t \\
& z=-3t \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó tọa độ giao điểm của $\Delta $ và mặt phẳng $\left( P \right):x+2y-z-10=0$ có tọa độ là $\left( 3;2;-3 \right).$