Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( 1;2;-3 \right)$, mặt phẳng $\left( P \right):3x+y-z-1=0$ và mặt phẳng $\left( Q \right):x+3y+z-3=0$. Gọi $\left( \Delta \right)$ là đường thẳng đi qua $A$, cắt và vuông góc với giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$. Sin của góc tạo bởi đường thẳng $\left( \Delta \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{55}}{55}$.
B. $0$.
C. $\dfrac{-3\sqrt{55}}{11}$.
D. $\dfrac{7\sqrt{55}}{55}$.
A. $\dfrac{\sqrt{55}}{55}$.
B. $0$.
C. $\dfrac{-3\sqrt{55}}{11}$.
D. $\dfrac{7\sqrt{55}}{55}$.
Ta có mặt phẳng $\left( P \right):3x+y-z-1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 3;1;-1 \right)$ và mặt phẳng $\left( Q \right):x+3y+z-3=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( 1;3;1 \right)$.
Gọi $d=\left( P \right)\cap \left( Q \right)$ thì ${d}$ nên có một vectơ chỉ phương là $\left[ \overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right]=\left( 4;-4;8 \right)\text{=4}\left( 1;-1;2 \right)$.
Suy ra $d$ cũng nhận vectơ $\overrightarrow{u}=\left( 1;-1;2 \right)$ là một vectơ chỉ phương.
Lấy điểm $M\in d=\left( P \right)\cap \left( Q \right)\Rightarrow $ toạ độ điểm $M$ thoả mãn hệ $\left\{ \begin{aligned}
& 3x+y-z-1=0 \\
& x+3y+z-3=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Chọn $y=1\Rightarrow x=z=0\Rightarrow M\left( 0;1;0 \right)$.
Phương trình tham số đường thẳng $d$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=1-t \\
& z=2t \\
\end{aligned} \right. \left( t\in \mathbb{R} \right)$.
Giả sử $\Delta \cap d=B\Rightarrow B\left( t;1-t;2t \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( t-1;-t-1;2t+3 \right)$.
Vì $AB\bot d\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -2;0;1 \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta $.
Gọi $\varphi $ là góc giữa đường thẳng $\Delta $ và mặt phẳng $\left( P \right)$, ta có $\sin \varphi =\left| \cos \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{{{n}_{1}}} \right) \right|=\dfrac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|}=\dfrac{7}{\sqrt{55}}=\dfrac{7\sqrt{55}}{55}$.
Gọi $d=\left( P \right)\cap \left( Q \right)$ thì ${d}$ nên có một vectơ chỉ phương là $\left[ \overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right]=\left( 4;-4;8 \right)\text{=4}\left( 1;-1;2 \right)$.
Suy ra $d$ cũng nhận vectơ $\overrightarrow{u}=\left( 1;-1;2 \right)$ là một vectơ chỉ phương.
Lấy điểm $M\in d=\left( P \right)\cap \left( Q \right)\Rightarrow $ toạ độ điểm $M$ thoả mãn hệ $\left\{ \begin{aligned}
& 3x+y-z-1=0 \\
& x+3y+z-3=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Chọn $y=1\Rightarrow x=z=0\Rightarrow M\left( 0;1;0 \right)$.
Phương trình tham số đường thẳng $d$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=1-t \\
& z=2t \\
\end{aligned} \right. \left( t\in \mathbb{R} \right)$.
Giả sử $\Delta \cap d=B\Rightarrow B\left( t;1-t;2t \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( t-1;-t-1;2t+3 \right)$.
Vì $AB\bot d\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -2;0;1 \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta $.
Gọi $\varphi $ là góc giữa đường thẳng $\Delta $ và mặt phẳng $\left( P \right)$, ta có $\sin \varphi =\left| \cos \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{{{n}_{1}}} \right) \right|=\dfrac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|}=\dfrac{7}{\sqrt{55}}=\dfrac{7\sqrt{55}}{55}$.
Đáp án D.