Google
Câu hỏi: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình ${{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{x}}+{{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}}-6=0$ là:
A. 1.
B. $\dfrac{5}{2}.$
C. 6.
D. 0.
A. 1.
B. $\dfrac{5}{2}.$
C. 6.
D. 0.
Ta có: $\left( \sqrt{2}-1 \right)\left( \sqrt{2}+1 \right)=1\Rightarrow {{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{x}}{{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}}=1$.
Đặt ${{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}}=t,t>0\Rightarrow {{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{x}}=\dfrac{1}{t}.$
Khi đó phương trình trở thành: $\dfrac{1}{t}+t-6=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-6t+1=0$.
Có $\Delta '=9-1=8>0\Rightarrow $ Phương trình ẩn t có 2 nghiệm ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$ phân biệt.
$\Rightarrow $ Phương trình ban đầu có 2 nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ phân biệt.
Ta có: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}={{\log }_{\sqrt{2}+1}}{{t}_{1}}+{{\log }_{\sqrt{2}+1}}{{t}_{2}}={{\log }_{\sqrt{2}+1}}{{t}_{1}}{{t}_{2}}={{\log }_{\sqrt{2}+1}}1=0$.
Đặt ${{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}}=t,t>0\Rightarrow {{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{x}}=\dfrac{1}{t}.$
Khi đó phương trình trở thành: $\dfrac{1}{t}+t-6=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-6t+1=0$.
Có $\Delta '=9-1=8>0\Rightarrow $ Phương trình ẩn t có 2 nghiệm ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$ phân biệt.
$\Rightarrow $ Phương trình ban đầu có 2 nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ phân biệt.
Ta có: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}={{\log }_{\sqrt{2}+1}}{{t}_{1}}+{{\log }_{\sqrt{2}+1}}{{t}_{2}}={{\log }_{\sqrt{2}+1}}{{t}_{1}}{{t}_{2}}={{\log }_{\sqrt{2}+1}}1=0$.
Đáp án D.