Tổng tất cả các giá trị nguyên của $m$ thỏa ${{\log }_{3}}\left|...

Ta có ${{\log }_{3}}\left| \dfrac{{{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+2-m}{3{{x}^{2}}+2x+1} \right|\le 1$ với mọi $x$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+2-m\ne 0 \\
\left| {{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+2-m \right|\le 3\left( 3{{x}^{2}}+2x+1 \right) \\
\end{matrix} \right. $ với mọi $ x$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+2-m\ne 0 \\
{{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+2-m\le 9{{x}^{2}}+6x+3 \\
{{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+2-m\ge -9{{x}^{2}}-6x-3 \\
\end{matrix} \right. $ với mọi $ x$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+2-m\ne 0 \\
-8{{x}^{2}}-2\left( m+2 \right)x-1-m\le 0 \\
10{{x}^{2}}-2\left( m-4 \right)x+5-m\ge 0 \\
\end{matrix} \right. $ với mọi $ x$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{\left( m-1 \right)}^{2}}+m-2<0 \\
{{\left( m+2 \right)}^{2}}-8\left( m+1 \right)\le 0 \\
{{\left( m-4 \right)}^{2}}-10\left( 5-m \right)\le 0 \\
\end{matrix} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{m}^{2}}-m-1<0 \\
{{\left( m+2 \right)}^{2}}-8\left( m+1 \right)\le 0 \\
{{\left( m-4 \right)}^{2}}-10\left( 5-m \right)\le 0 \\
\end{matrix} \right.$.
Mà $m$ là số nguyên nên $m=0$ hay $m=1$. Vậy tổng tất cả các giá trị $m$ là $1$.