Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn $\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|\le 4$ với mọi $x\in \left[ 1;3 \right]$ ?
A. $5$
B. $4$
C. $6$
D. $3$
A. $5$
B. $4$
C. $6$
D. $3$
$\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|\le 4\Leftrightarrow -4\le {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m\le 4\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\ge -4-m \\
{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\le 4-m \\
\end{matrix} \right.,\forall x\in \left[ 1;3 \right]$
Xét $f(x)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\Rightarrow f'(x)=3{{x}^{2}}-6x; f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=0 \\
x=2 \\
\end{matrix} \right.$
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra $\left\{ \begin{matrix}
-4\ge -4-m \\
0\le 4-m \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m\ge 0 \\
m\le 4 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow 0\le m\le 4 \right. \right.\Rightarrow m\in \left\{ 0;1;2;3;4 \right\}$
{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\ge -4-m \\
{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\le 4-m \\
\end{matrix} \right.,\forall x\in \left[ 1;3 \right]$
Xét $f(x)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\Rightarrow f'(x)=3{{x}^{2}}-6x; f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=0 \\
x=2 \\
\end{matrix} \right.$
Bảng biến thiên
-4\ge -4-m \\
0\le 4-m \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m\ge 0 \\
m\le 4 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow 0\le m\le 4 \right. \right.\Rightarrow m\in \left\{ 0;1;2;3;4 \right\}$
Đáp án A.