Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình...

$1+{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge {{\log }_{3}}\left( m{{x}^{2}}+2x+m \right)\Leftrightarrow {{\log }_{3}}3.\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge {{\log }_{3}}\left( m{{x}^{2}}+2x+m \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m{{x}^{2}}+2x+m>0 \\
3\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge m{{x}^{2}}+2x+m \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \right.\left\{ \begin{matrix}
m{{x}^{2}}+2x+m>0 \\
\left( 3-m \right){{x}^{2}}-2x+3-m\ge 0 \\
\end{matrix} \right.$ (I)
TH1: $m=0$.
Hệ $(I)\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
2x>0 \\
3{{x}^{2}}-2x+3\ge 0 \\
\end{matrix} \right.$
Ta thấy $2x>0\Leftrightarrow x>0$ loại vì hệ không có nghiệm với mọi $x\in \mathbb{R}$.
TH2: $m=3$
Hệ $\left( I \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
3{{x}^{2}}+2x+3>0 \\
-2x\ge 0 \\
\end{matrix} \right.$
Ta thấy $-2x\ge 0\Leftrightarrow x\le 0$ loại vì hệ không có nghiệm với mọi $x\in \mathbb{R}$.
TH3: $\left\{ \begin{matrix}
m\ne 0 \\
m\ne 3 \\
\end{matrix} \right.$
Để hệ có nghiệm với mọi $x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m>0 \\
\begin{aligned}
& \Delta '=1-{{m}^{2}}<0 \\
& 3-m>0 \\
& \Delta '=-{{m}^{2}}+6m-8\le 0 \\
\end{aligned} \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m>0 \\
m>1\vee m<-1 \\
m<3 \\
m\le 2\vee m\ge 4 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow 1<m\le 2 \right. \right.$
Vì $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=2$.