Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để bất phương trình ${{\left( \dfrac{2}{\text{e}} \right)}^{{{x}^{2}}+2mx+1}}\le {{\left( \dfrac{\text{e}}{2} \right)}^{2x-3m}}$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ ?
A. $8$.
B. $5$.
C. $6$.
D. $7$.
A. $8$.
B. $5$.
C. $6$.
D. $7$.
Ta có: ${{\left( \dfrac{2}{\text{e}} \right)}^{{{x}^{2}}+2mx+1}}\le {{\left( \dfrac{\text{e}}{2} \right)}^{2x-3m}}$ $\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{2}{\text{e}} \right)}^{{{x}^{2}}+2mx+1}}\le {{\left( \dfrac{2}{\text{e}} \right)}^{-2x+3m}}$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2mx+1\ge -2x+3m$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2\left( m+1 \right)x+1-3m\ge 0$, $\left( * \right)$
Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow $ Bất phương trình $\left( * \right)$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'\le 0 \\
& a>0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( m+1 \right)}^{2}}-\left( 1-3m \right)\le 0 \\
& 1>0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow {{m}^{2}}+5m\le 0\Leftrightarrow -5\le m\le 0$.
Mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -5;-4;-3;-2;-1;0 \right\}$ .
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2\left( m+1 \right)x+1-3m\ge 0$, $\left( * \right)$
Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow $ Bất phương trình $\left( * \right)$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'\le 0 \\
& a>0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( m+1 \right)}^{2}}-\left( 1-3m \right)\le 0 \\
& 1>0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow {{m}^{2}}+5m\le 0\Leftrightarrow -5\le m\le 0$.
Mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -5;-4;-3;-2;-1;0 \right\}$ .
Đáp án C.
