Tính tổng $S$ tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ trong đoạn...

Xét hàm số $y=\dfrac{mx+3}{x+m+2}$ với $x\ne -m-2$, có $y'=\dfrac{{{m}^{2}}+2m-3}{{{\left( x+m+2 \right)}^{2}}}$.
Hàm số $y=\left| \dfrac{mx+3}{x+m+2} \right|$ đồng biến trên $\left( 1; +\infty \right)$ khi xảy ra một trong hai trường hợp sau :
Trường hợp 1: $\left\{ \begin{matrix}
y'=\dfrac{{{m}^{2}}+2m-3}{{{\left( x+m+2 \right)}^{2}}}>0 \\
\begin{aligned}
& y\left( 1 \right)\ge 0 \\
& -m-2\notin \left( 1 ; +\infty \right) \\
\end{aligned} \\
\end{matrix} \right.,\forall x>1\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{m}^{2}}+2m-3>0 \\
\begin{aligned}
& \dfrac{m+3}{m+3}\ge 0 \\
& -m-2\le 1 \\
\end{aligned} \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left[ \begin{matrix}
m<-3 \\
m>1 \\
\end{matrix} \right. \\
m\ge -3 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m>1$.
Trường hợp 2: $\left\{ \begin{matrix}
y'=\dfrac{{{m}^{2}}+2m-3}{{{\left( x+m+2 \right)}^{2}}}<0 \\
\begin{aligned}
& y\left( 1 \right)\le 0 \\
& -m-2\notin \left( 1 ; +\infty \right) \\
\end{aligned} \\
\end{matrix} \right.,\forall x>1\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{m}^{2}}+2m-3<0 \\
\begin{aligned}
& \dfrac{m+3}{m+3}\le 0 \\
& -m-2\le 1 \\
\end{aligned} \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m\in \varnothing $.
Từ kết quả trên ta có $m\in \left( 1 ; +\infty \right)$, mà $\left\{ \begin{matrix}
m\in \mathbb{Z} \\
m\in \left[ -10 ;10 \right] \\
\end{matrix} \right. $ suy ra $ m\in \left\{ 2 ; 3 ; 4 ; 5 ;6 ;7 ;8 ;9 ;10 \right\}$.
Vậy $S=54$.