Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số thực $m$...

Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x+m$ trên $\left[ 0;3 \right]$.
Ta có $f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=1 & \left( n \right) \\
x=-1 & \left( l \right) \\
\end{matrix} \right.$.
Khi đó $\left\{ \begin{matrix}
f\left( 0 \right)=m \\
f\left( 1 \right)=-2+m \\
f\left( 3 \right)=18+m \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
\underset{x\in \left[ 0;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=18+m \\
\underset{x\in \left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=-2+m \\
\end{matrix} \right. $. Ta có $ \underset{x\in \left[ 0;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)-\underset{x\in \left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=20<2.16$.
Nên $\underset{x\in \left[ 0;3 \right]}{\mathop{\max }} \left| {{x}^{3}}-3x+m \right|=16\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\underset{x\in \left[ 0;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=16 \\
\underset{x\in \left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=-16 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
18+m=16 \\
-2+m=-16 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=-2 \\
m=-14 \\
\end{matrix} \right.$.