Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $\log _{2023}(x+m)+\log _{\dfrac{1}{2023}}\left(x^2-x+2 m\right)=0$ có đúng một nghiệm thực. Tính tổng các phần tử của $S$.
A. 0.
B. $-3$.
C. $-3$.
D. $-2$.
A. 0.
B. $-3$.
C. $-3$.
D. $-2$.
Ta có
& x+m>0 \\
& {{x}^{2}}-x+2m=x+m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>-m \\
& {{x}^{2}}-2x+1=1-m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>-m \\
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}=1-m \\
\end{aligned} \right.$ (I)
Nếu $1-m<0\Leftrightarrow m>1$ thì phương trình đã cho vô nghiệm.
Nếu $1-m=0\Leftrightarrow m=1$ thì (I) trở thành $\left\{ \begin{aligned}
& x>-1 \\
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=1$. Trường hợp này
phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=1$ nên $m=1$ thỏa mãn.
Nếu $1-m\ge 0\Leftrightarrow m\le 1$ thì ta có $\left\{ \begin{aligned}
& x>-m \\
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}=1-m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>-m \\
& \left[ \begin{aligned}
& x=1+\sqrt{1-m} \\
& x=1-\sqrt{1-m} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$.
Phương trình đã cho có đúng một nghiệm thực khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{aligned}
& m\le 1 \\
& 1+\sqrt{1-m}>-m \\
& 1-\sqrt{1-m}\le -m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le 1 \\
& {{\left( \sqrt{1-m} \right)}^{2}}-\sqrt{1-m}-2<0 \\
& {{\left( \sqrt{1-m} \right)}^{2}}+\sqrt{1-m}-2\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le 1 \\
& \sqrt{1-m}<2 \\
& \sqrt{1-m}\ge 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -3<m\le 0$.
Vậy tập hợp các giá trị nguyên của thỏa mãn đề bài là $S=\left\{ 1;-2;-1;0 \right\}$.
Tổng các phần tử của $S$ bằng $-2$.
${{\log }_{2023}}(x+m)+{{\log }_{\dfrac{1}{2023}}}\left( {{x}^{2}}-x+2m \right)=0\Leftrightarrow {{\log }_{2023}}(x+m)={{\log }_{2023}}\left( {{x}^{2}}-x+2m \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}& x+m>0 \\
& {{x}^{2}}-x+2m=x+m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>-m \\
& {{x}^{2}}-2x+1=1-m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>-m \\
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}=1-m \\
\end{aligned} \right.$ (I)
Nếu $1-m<0\Leftrightarrow m>1$ thì phương trình đã cho vô nghiệm.
Nếu $1-m=0\Leftrightarrow m=1$ thì (I) trở thành $\left\{ \begin{aligned}
& x>-1 \\
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=1$. Trường hợp này
phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=1$ nên $m=1$ thỏa mãn.
Nếu $1-m\ge 0\Leftrightarrow m\le 1$ thì ta có $\left\{ \begin{aligned}
& x>-m \\
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}=1-m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>-m \\
& \left[ \begin{aligned}
& x=1+\sqrt{1-m} \\
& x=1-\sqrt{1-m} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$.
Phương trình đã cho có đúng một nghiệm thực khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{aligned}
& m\le 1 \\
& 1+\sqrt{1-m}>-m \\
& 1-\sqrt{1-m}\le -m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le 1 \\
& {{\left( \sqrt{1-m} \right)}^{2}}-\sqrt{1-m}-2<0 \\
& {{\left( \sqrt{1-m} \right)}^{2}}+\sqrt{1-m}-2\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le 1 \\
& \sqrt{1-m}<2 \\
& \sqrt{1-m}\ge 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -3<m\le 0$.
Vậy tập hợp các giá trị nguyên của thỏa mãn đề bài là $S=\left\{ 1;-2;-1;0 \right\}$.
Tổng các phần tử của $S$ bằng $-2$.
Đáp án D.
