Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để...

Đặt $g(x)={{x}^{4}}+{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-x+m\Rightarrow {g}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-10x-1$
${g}'(x)=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-10x-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=a\approx -1.96 \\
& x=b\approx -0.098 \\
& x=c\approx 1.31 \\
\end{aligned} \right..$
Ta có bảng biến thiên
Trong đó $d\approx -10,2+m,\ e\approx 0.049+m,\ g\approx -4.69+m.$
Để hàm số $f(x)=\left| {{x}^{4}}+{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-x+m \right|$ có 4 điểm cực tiểu điều kiện là
$\left\{ \begin{aligned}
& m+0.049>0 \\
& m-4,69<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -0.049<m<4.69.$
${{x}^{4}}+{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-x+m=0\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}+\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( x-7 \right)-2x+m+6=0$
Đặt $t={{x}^{2}}+1,\left( t\ge 1 \right).$ ta được phương trình ${{t}^{2}}+t\left( x-7 \right)-2x+m+6=0$
${{t}^{2}}+x\left( t-2 \right)-7t+m+6=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-7t+m+6=x\left( t-2 \right)\Rightarrow {{\left( {{t}^{2}}-7t+m+6 \right)}^{2}}=\left( t-1 \right){{\left( t-2 \right)}^{2}}$
Ta có ${{t}_{1}}{{t}_{2}}{{t}_{3}}{{t}_{4}}\ge 68\Leftrightarrow {{\left( m+6 \right)}^{2}}+4\ge 68\Leftrightarrow {{\left( m+6 \right)}^{2}}\ge 64\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m+6\ge 8 \\
& m+6\le -8 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\ge 2 \\
& m\le -14 \\
\end{aligned} \right..$
Do $\left\{ \begin{aligned}
& -0.049<m<4.69 \\
& m\in \mathbb{Z} \\
& \left[ \begin{aligned}
& m\ge 2 \\
& m\le -14 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m=2,m=3,m=4.$
Số tập con là ${{2}^{3}}=8.$