Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|$ $\left[ -2;3 \right]$ là trị nhỏ nhất?
A. $\!\!~\!\!\text{ m}=8$.
B. $\!\!~\!\!\text{ m}=-8$.
C. $\!\!~\!\!m=10$.
D. $\!\!~\!\!m=-10$.
A. $\!\!~\!\!\text{ m}=8$.
B. $\!\!~\!\!\text{ m}=-8$.
C. $\!\!~\!\!m=10$.
D. $\!\!~\!\!m=-10$.
Xét hàm số $y=f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m$ liên tục trên đoạn $\left[ -2;3 \right]$.
+) ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6\text{x}$ ; $\!\!~\!\!{f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0;x=2\in \left[ -2;3 \right]$.
+) $f\left( -2 \right)=m-20$, $f\left( 2 \right)=m-4$, $~f\left( 3 \right)=f\left( 0 \right)=m$.
Khi đó $\underset{\left[ -2;3 \right]}{\mathop{\text{max}}} \left| f\left( x \right) \right|=\text{max}\left\{ \left| m \right|;\left| m-20 \right| \right\}=M$.
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}
M\ge \left| m \right| \\
M\ge \left| m-20 \right|=\left| 20-m \right| \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow 2M\ge \left| m \right|+\left| 20-m \right|\ge \left| m+20-m \right|=20\Rightarrow M\ge 10$.
Dấu $''=''$ xảy ra$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left| m \right|=\left| 20-m \right|=10 \\
m\left( 20-m \right)\ge 0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m=10$.
+) ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6\text{x}$ ; $\!\!~\!\!{f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0;x=2\in \left[ -2;3 \right]$.
+) $f\left( -2 \right)=m-20$, $f\left( 2 \right)=m-4$, $~f\left( 3 \right)=f\left( 0 \right)=m$.
Khi đó $\underset{\left[ -2;3 \right]}{\mathop{\text{max}}} \left| f\left( x \right) \right|=\text{max}\left\{ \left| m \right|;\left| m-20 \right| \right\}=M$.
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}
M\ge \left| m \right| \\
M\ge \left| m-20 \right|=\left| 20-m \right| \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow 2M\ge \left| m \right|+\left| 20-m \right|\ge \left| m+20-m \right|=20\Rightarrow M\ge 10$.
Dấu $''=''$ xảy ra$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left| m \right|=\left| 20-m \right|=10 \\
m\left( 20-m \right)\ge 0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m=10$.
Đáp án C.