Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=\dfrac{\cos x-2}{\cos x-m}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right).$
A. $m\in \left( 2;+\infty \right)$.
B. $m\in \left( -\infty ;0 \right]$.
C. $m\in \left[ 1;2 \right)$.
D. $m\in \left( 0;+\infty \right)$.
A. $m\in \left( 2;+\infty \right)$.
B. $m\in \left( -\infty ;0 \right]$.
C. $m\in \left[ 1;2 \right)$.
D. $m\in \left( 0;+\infty \right)$.
Đặt $u=\cos x$. Khi $x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ thì $u$ nghịch biến và $u\in \left( 0;1 \right)$.
Hàm số đã cho trở thành $f\left( u \right)=\dfrac{u-2}{u-m}\Rightarrow {f}'\left( u \right)=\dfrac{-m+2}{{{\left( u-m \right)}^{2}}}$.
Để hàm số $y=\dfrac{\cos x-2}{\cos x-m}$ đồng biến trên $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ thì hàm số $f\left( u \right)$ nghịch biến trên $\left( 0;1 \right)$ $\Leftrightarrow \dfrac{-m+2}{{{\left( u-m \right)}^{2}}}<0, \forall u\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -m+2<0 \\
& m\notin \left( 0;1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>2 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m\le 0 \\
& m\ge 1 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>2$.
Vậy $m\in \left( 2;+\infty \right)$.
Hàm số đã cho trở thành $f\left( u \right)=\dfrac{u-2}{u-m}\Rightarrow {f}'\left( u \right)=\dfrac{-m+2}{{{\left( u-m \right)}^{2}}}$.
Để hàm số $y=\dfrac{\cos x-2}{\cos x-m}$ đồng biến trên $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ thì hàm số $f\left( u \right)$ nghịch biến trên $\left( 0;1 \right)$ $\Leftrightarrow \dfrac{-m+2}{{{\left( u-m \right)}^{2}}}<0, \forall u\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -m+2<0 \\
& m\notin \left( 0;1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>2 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m\le 0 \\
& m\ge 1 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>2$.
Vậy $m\in \left( 2;+\infty \right)$.
Đáp án A.