Tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số...

Ta có: ${y}'={{m}^{2}}{{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+20x-\left( {{m}^{2}}-m-20 \right)$.
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi:
${y}'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}{{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+20x-\left( {{m}^{2}}-m-20 \right)\ge 0\quad \forall x\in \mathbb{R}$.
TH 1: $m=0$ khi đó ${y}'=20x+20\ge 0\Leftrightarrow x\ge -1$. Suy ra $m=0$ không thỏa mãn.
TH 2: $m\ne 0$ khi đó: ${y}'={{m}^{2}}\left( {{x}^{4}}-1 \right)-m\left( {{x}^{2}}-1 \right)+20\left( x+1 \right)=\left( x+1 \right)\left[ {{m}^{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( x-1 \right)-m\left( x-1 \right)+20 \right]$.
Để ${y}'\ge 0\quad \forall x\in \mathbb{R}$ thì phương trình ${{m}^{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( x-1 \right)-m\left( x-1 \right)+20=0$ cũng phải có nghiệm $x=-1$. Nghĩa là: $-4{{m}^{2}}+2m+20=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-2 \\
& m=\dfrac{5}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Với $m=-2$ khi đó ${y}'=4{{x}^{4}}\text{+2}{{\text{x}}^{2}}+20x+14={{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( 4{{x}^{2}}-8x+14 \right)\ge 0\quad \forall x\in \mathbb{R}$.
Suy ra $m=-2$ thỏa mãn.
Với $m=\dfrac{5}{2}$ khi đó ${y}'=\dfrac{1}{4}{{\left( x+1 \right)}^{2}}\left[ 25{{x}^{2}}-50x+65 \right]\ge 0\quad \forall x\in \mathbb{R}$.
Suy ra $m=\dfrac{5}{2}$ thỏa mãn.
Vậy $m\in \left\{ -2,\dfrac{5}{2} \right\}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài. Suy ra tổng các giá trị của $m$ bằng $\dfrac{1}{2}$.