Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y={{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{\dfrac{mx+1}{x+m}}}$ đồng biến trên khoảng $\left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$ ?
A. $m\in \left( -1;1 \right)$.
B. $m\in \left[ \dfrac{1}{2};1 \right]$.
C. $m\in \left( \dfrac{1}{2};1 \right)$.
D. $m\in \left[ -\dfrac{1}{2};1 \right)$.
A. $m\in \left( -1;1 \right)$.
B. $m\in \left[ \dfrac{1}{2};1 \right]$.
C. $m\in \left( \dfrac{1}{2};1 \right)$.
D. $m\in \left[ -\dfrac{1}{2};1 \right)$.
Ta có ${y}'={{\left( \dfrac{mx+1}{x+m} \right)}^{\prime }}.{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{\dfrac{mx+1}{x+m}}}\ln \dfrac{1}{5}=\dfrac{1-{{m}^{2}}}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}.{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{\dfrac{mx+1}{x+m}}}.\ln 5$.
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$ khi và chỉ khi ${y}'>0,\forall x\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$.
$\Leftrightarrow \dfrac{1-{{m}^{2}}}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}.{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{\dfrac{mx+1}{x+m}}}.\ln 5>0,\forall x\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)\Leftrightarrow \dfrac{1-{{m}^{2}}}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}>0,\forall x\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$.
Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& 1-{{m}^{2}}>0 \\
& -m\le \dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -1<m<1 \\
& m\ge -\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}\le m<1$.
Vậy $m\in \left[ -\dfrac{1}{2};1 \right)$.
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$ khi và chỉ khi ${y}'>0,\forall x\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$.
$\Leftrightarrow \dfrac{1-{{m}^{2}}}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}.{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{\dfrac{mx+1}{x+m}}}.\ln 5>0,\forall x\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)\Leftrightarrow \dfrac{1-{{m}^{2}}}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}>0,\forall x\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$.
Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& 1-{{m}^{2}}>0 \\
& -m\le \dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -1<m<1 \\
& m\ge -\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}\le m<1$.
Vậy $m\in \left[ -\dfrac{1}{2};1 \right)$.
Đáp án D.