Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y=\log _{2022}^{{}}\left( {{2022}^{x}}-x-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-m \right)$ xác định với mọi giá trị x thuộc $\left[ 0;+\infty \right)$.
A. $m<1$.
B. $m>9$.
C. $m<2$.
D. $0<m<1$.
A. $m<1$.
B. $m>9$.
C. $m<2$.
D. $0<m<1$.
Hàm số $y=\log _{2022}^{{}}\left( {{2022}^{x}}-x-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-m \right)$ xác định với mọi giá trị x thuộc $\left[ 0;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow {{2022}^{x}}-x-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-m>0,\forall x\in \left[ 0;+\infty \right)\Leftrightarrow m<f\left( x \right)={{2022}^{x}}-x-\dfrac{{{x}^{2}}}{2},\forall x\in \left[ 0;+\infty \right)$
$m<\underset{\left[ 0 ; +\infty \right)}{\mathop{\min f\left( x \right)}} $.
Ta có: ${f}'\left( x \right)={{2022}^{x}}.\ln 2020-1-x$ xác định và liên tục trên $\left[ 0;+\infty \right)$.
$f''\left( x \right)={{2022}^{x}}.{{\left( \ln 2020 \right)}^{2}}-1>0,\forall x\in \left[ 0;+\infty \right).$
Suy ra: ${f}'\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;+\infty \right)$ $\Rightarrow {f}'\left( x \right)>{f}'\left( 0 \right)=\ln 2022-1>0, \forall x\in $ $\left[ 0;+\infty \right)$.
Suy ra $f\left( x \right)$ là hàm đồng biến trên $\left[ 0;+\infty \right)$ $\Rightarrow \underset{\left[ 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 0 \right)=1$.
Vậy: $m<1.$
$\Leftrightarrow {{2022}^{x}}-x-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-m>0,\forall x\in \left[ 0;+\infty \right)\Leftrightarrow m<f\left( x \right)={{2022}^{x}}-x-\dfrac{{{x}^{2}}}{2},\forall x\in \left[ 0;+\infty \right)$
$m<\underset{\left[ 0 ; +\infty \right)}{\mathop{\min f\left( x \right)}} $.
Ta có: ${f}'\left( x \right)={{2022}^{x}}.\ln 2020-1-x$ xác định và liên tục trên $\left[ 0;+\infty \right)$.
$f''\left( x \right)={{2022}^{x}}.{{\left( \ln 2020 \right)}^{2}}-1>0,\forall x\in \left[ 0;+\infty \right).$
Suy ra: ${f}'\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;+\infty \right)$ $\Rightarrow {f}'\left( x \right)>{f}'\left( 0 \right)=\ln 2022-1>0, \forall x\in $ $\left[ 0;+\infty \right)$.
Suy ra $f\left( x \right)$ là hàm đồng biến trên $\left[ 0;+\infty \right)$ $\Rightarrow \underset{\left[ 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 0 \right)=1$.
Vậy: $m<1.$
Đáp án A.