Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình $\log _2 \dfrac{4^x-1}{4^x+1}-m=0$ có nghiệm.
A. $-1<m<0$.
B. $-1<m<1$.
C. $m \leq-1$.
D. $m<0$.
A. $-1<m<0$.
B. $-1<m<1$.
C. $m \leq-1$.
D. $m<0$.
Điều kiện $4^x-1>0 \Leftrightarrow x>0$
Đặt $t=4^x$, với $x>0 \Rightarrow t>1$. Phương trình trở thành $m=\log _2 \dfrac{t-1}{t+1}$
Xét hàm số $f(t)=\log _2 \dfrac{t-1}{t+1}$ trên $(1 ;+\infty)$. Ta có $f^{\prime}(t)=\dfrac{2}{\left(t^2-1\right) \ln 2}>0, \forall t>1$.
Suy ra hàm số $f(t)$ đồng biến trên khoảng $(1 ;+\infty)$.
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm $m<0$.
Đặt $t=4^x$, với $x>0 \Rightarrow t>1$. Phương trình trở thành $m=\log _2 \dfrac{t-1}{t+1}$
Xét hàm số $f(t)=\log _2 \dfrac{t-1}{t+1}$ trên $(1 ;+\infty)$. Ta có $f^{\prime}(t)=\dfrac{2}{\left(t^2-1\right) \ln 2}>0, \forall t>1$.
Suy ra hàm số $f(t)$ đồng biến trên khoảng $(1 ;+\infty)$.
Đáp án D.