Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình...

Ta có: ${{2}^{x}}=mx+1$ $\Leftrightarrow {{2}^{x}}-mx=1$ (*). Đặt $f\left( x \right)={{2}^{x}}-mx$.
Nhận xét $x=0$ là nghiệm của phương trình $\left( * \right)$.
Ta có: $f'\left( x \right)={{2}^{x}}\ln 2-m$.
Trường hợp 1: $m\le 0$ khi đó $f'\left( x \right)>0$, $\forall x\in \mathbb{R}$. Ta có bảng biến thiên của $f\left( x \right)$ như sau:
Vậy $m\le 0$ thỏa yêu cầu bài toán.
Trường hợp 2: $m>0$. Khi đó $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}_{o}}={{\log }_{2}}\dfrac{m}{\ln 2}$. Ta có bảng biến thiên của $f\left( x \right)$.
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow f\left( {{x}_{o}} \right)=1$. Lại có $f\left( 0 \right)=1$ nên ${{x}_{o}}=0\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\dfrac{m}{\ln 2}=0\Leftrightarrow m=\ln 2$.
Tóm lại từ hai trường hợp, ta thấy phương trình có đúng 1 nghiệm $\Leftrightarrow $ $\left[ \begin{aligned}
& m\le 0 \\
& m=\ln 2 \\
\end{aligned} \right.$.